IZRAČUN PRIBLIŽKOV S POMOČJO DIFERENCIALA - MATEMATIKA - 2026

Približek matematike je število, ki ni natančna vrednost nečesa, vendar je tako blizu, da se šteje za uporabno kot to točno vrednost.

Ko so matematični približki narejeni, je to zato, ker je ročno težko (ali včasih nemogoče) natančno vedeti, kaj želite.

Glavno orodje pri delu s približki je diferencial funkcije.

Diferencial funkcije f, ki jo označujemo z Δf (x), ni nič drugega kot izpeljanka funkcije f kratna sprememba neodvisne spremenljivke, to je Δf (x) = f '(x) * Δx.

Včasih se uporabljata df in dx namesto Δf in Δx.

Približitve z uporabo diferenciala

Formula, ki se uporablja za približek skozi diferencial, izhaja natančno iz opredelitve izpeljane funkcije kot omejitve.

To formulo poda:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Tu se razume, da je Δx = x-x0, torej x = x0 + Δx. S tem lahko formulo zapišemo kot

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Treba je opozoriti, da "x0" ni poljubna vrednost, ampak je vrednost takšna, da je f (x0) zlahka znan; poleg tega je "f (x)" le vrednost, ki jo želimo približati.

Ali obstajajo boljši približki?

Odgovor je pritrdilen. Zgoraj je najpreprostejši od približkov, imenovanih "linearni približek".

Za boljše približke kakovosti (manjša je napaka) se uporabljajo polinomi z več derivati, imenovanimi "Taylor polinomi", in druge numerične metode, kot je Newton-Raphsonova metoda.

Strategija

Strategija, ki ji sledimo, je:

- Izberite primerno funkcijo f, da izvedete približek in vrednost «x», tako da je f (x) vrednost, ki jo želite približati.

- Izberite vrednost "x0", blizu "x", tako da je f (x0) enostavno izračunati.

- Izračunajte Δx = x-x0.

- Izračunajte izpeljanko funkcije y f '(x0).

- Podatke zamenjajte v formuli.

Rešene vaje približevanja

V nadaljevanju je vrsta vaj, v katerih se izvedejo približki z uporabo diferenciala.

Prva vaja

Približno √3.

Rešitev

Po strategiji je treba izbrati ustrezno funkcijo. V tem primeru je razvidno, da mora biti funkcija, ki jo izberemo, f (x) = √x, vrednost, ki jo želimo približati, pa f (3) = √3.

Zdaj moramo izbrati vrednost "x0" blizu "3", tako da je f (x0) enostavno izračunati. Če izberemo "x0 = 2", potem je "x0" blizu "3", vendar f (x0) = f (2) = √2 ni enostavno izračunati.

Ustrezna vrednost "x0" je "4", saj je "4" blizu "3" in tudi f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Če sta "x = 3" in "x0 = 4", potem je Δx = 3-4 = -1. Zdaj nadaljujemo z izračunom izvoda f. To pomeni, da je f '(x) = 1/2 * √x, zato je f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Zamenjava vseh vrednosti v dobljeni formuli:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Če uporabite kalkulator, dobite that3≈1.73205… To kaže, da je prejšnji rezultat dober približek resnične vrednosti.

Druga vaja

Približno √10.

Rešitev

Kot prej je za funkcijo izbran f (x) = √xy, v tem primeru je x = 10.

Vrednost x0, ki jo izberete v tem času, je "x0 = 9". Nato imamo, da je Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 in f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Pri vrednotenju v formuli dobimo, da

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Z uporabo kalkulatorja dobimo, da je √10 ≈ 3.1622776… Tudi tukaj je razvidno, da smo že pred tem dobili dober približek.

Tretja vaja

Približno √10, kjer ³√ označuje korenino kocke.

Rešitev

Jasno je, da je funkcija, ki se uporablja pri tej vaji, f (x) = ³√x, vrednost "x" pa mora biti "10".

Vrednost, ki je blizu "10", tako da je znana korenina njene kocke, je "x0 = 8". Potem imamo, da je Δx = 10-8 = 2 in f (x0) = f (8) = 2. Imamo tudi, da je f '(x) = 1/3 * ³√x² in posledično f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Z zamenjavo podatkov v formuli dobimo, da:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Kalkulator pravi, da je √√10 ≈ 2.15443469… Zato je najdeni približek dober.

Četrta vaja

Približni ln (1.3), kjer "ln" označuje naravno funkcijo logaritma.

Rešitev

Najprej izberemo kot funkcijo f (x) = ln (x) in vrednost "x" je 1,3. Zdaj, če vemo malo o funkciji logaritma, lahko vemo, da je ln (1) = 0, poleg tega pa je "1" blizu "1,3". Zato je izbran "x0 = 1" in s tem Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Po drugi strani je f '(x) = 1 / x, tako da je f' (1) = 1. Pri vrednotenju v dani formuli imamo:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Z uporabo kalkulatorja imamo ln (1.3) ≈ 0.262364 … Torej je narejen približek dober.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Prekalkulistična matematika. Dvorana Prentice PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: pristop k reševanju problemov (2, Ilustrirana ur.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
4. Larson, R. (2010). Prekalkulus (8 izd.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitska geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Izračun (deveto izd.). Dvorana Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Diferencialno računanje z zgodnjimi transcendentnimi funkcijami za znanost in inženiring (druga izdaja, ed.). Hipotenuza.
9. Scott, Kalifornija (2009). Kartezijanska geometrija ravnin, del: Analitični koniki (1907) (ponatis). Vir strele.
10. Sullivan, M. (1997). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.