V prosti vektorji so tisti, ki so v celoti določi njegov obseg, smeri in smisla, ne da bi bilo treba , da kažejo na kraj prijave ali posebnega porekla.
Ker je na ta način mogoče narisati neskončne vektorje, prosti vektor ni ena sama entiteta, temveč skupek vzporednih in enakih vektorjev, ki so neodvisni od tega, kje so.
Slika 1. Različni prosti vektorji. Vir: self made.
Recimo, da imamo več vektorjev magnitude 3, usmerjenih navpično navzgor ali z magnitudo 5 in nagnjenimi v desno, kot je na sliki 1.
Noben od teh vektorjev se v nobeni točki ne uporablja posebej. Potem je kateri od modrih ali zelenih vektorjev reprezentativen za vsako skupino, saj se njihove lastnosti - modul, smer in smisel - sploh ne spremenijo, ko se premestijo na drugo mesto v ravnini.
Prosti vektor je v tiskanem besedilu običajno označen s krepko in malo črko, na primer v. Ali z majhno črko in puščico nad njo, če je ročno napisano besedilo .
Prednost prostih vektorjev je, da se lahko premikajo skozi ravnino ali skozi prostor in ohranjajo svoje lastnosti, saj je vsak predstavnik niza enako veljaven.
Zato se v fiziki in mehaniki pogosto uporabljajo. Na primer, za prikaz linearne hitrosti premikajoče se trdne snovi, ni treba izbrati določene točke na predmetu. Torej se vektor hitrosti obnaša kot prosti vektor.
Drug primer prostega vektorja je par sil. Par je sestavljen iz dveh sil enake velikosti in smeri, vendar nasprotnih smeri, ki se uporabljata na različnih točkah na trdnem tiru. Učinek para ni, da bi premikali predmet, temveč povzročili vrtenje zahvaljujoč proizvedenemu trenutku.
Slika 2 prikazuje nekaj sil, ki se uporabljajo na volanu. Skozi sile F 1 in F 2 nastane navor, ki vrti vztrajnik okrog njegovega središča in v smeri urinega kazalca.
Slika 2. Nekaj sil, ki se uporabijo na volanu, mu daje zasuk v smeri urinega kazalca. Vir: Bielasko
Navor lahko spremenite in še vedno dosežete enak vrteč učinek, na primer povečanje sile, vendar zmanjšanje razdalje med njimi. Ali pa vzdržujte silo in razdaljo, navor pa nanesite na drug par točk na volanu, torej zavirajte navor okoli središča.
Trenutek para ali preprosto para je vektor, katerega modul je Fd in je usmerjen pravokotno na ravnino vztrajnika. V primeru, ki ga konvencija prikazuje, ima vrtenje v smeri urinega kazalca negativno smer.
Lastnosti in značilnosti
Za razliko od prostega vektorja v sta vektorja AB in CD fiksna (glej sliko 3), saj imata določeno izhodišče in točko prihoda. Ker pa so medsebojno prizanesljivi in so v nasprotju z vektorjem v , reprezentativni za prosti vektor v .
Slika 3. Prosti vektorji, skupinski vektorji leč in fiksni vektorji. Vir: self made.
Glavne lastnosti brezplačnih vektorjev so naslednje:
-Vsek vektor AB (glej sliko 2) je, kot rečeno, predstavnik prostega vektorja v .
- Modul, smer in smisel so enaki pri vseh predstavnikih prostega vektorja. Na sliki 2 vektorja AB in CD predstavljata prosti vektor v in sta skupinsko lečo.
-Za točko P v vesolju je vedno mogoče najti predstavnika prostega vektorja v, katerega izvor je v P in ta predstavnik je enkraten. To je najpomembnejša lastnost prostih vektorjev in tista, ki jih naredi tako vsestranske.
-Nato prosti vektor je označen kot 0 in je množica vseh vektorjev, ki nimajo velikosti, smeri in smisla.
-Če vektor AB predstavlja prosti vektor v , potem vektor BA predstavlja prosti vektor - v .
- Poimenovanje V 3 bo uporabljeno za označevanje niza vseh prostih vektorjev v vesolju in V 2 za označevanje vseh prostih vektorjev v ravnini.
Rešene vaje
Z brezplačnimi vektorji lahko izvajamo naslednje operacije:
-Sum
- Odvzemanje
- Razmnoževanje skalarja z vektorjem
-Skalarni izdelek med dvema vektorjema.
-Krosni izdelek med dvema vektorjema
-Linearna kombinacija vektorjev
In več.
-Vežba 1
Študent poskuša plavati z ene točke na bregu reke do druge, ki je neposredno nasproti. Da bi to dosegli, plava neposredno s hitrostjo 6 km / h, v pravokotni smeri, vendar ima tok hitrost 4 km / h, ki jo odbija.
Izračunajte rezultantno hitrost plavalca in kolikšen odklon toka.
Rešitev
Rezultat hitrosti plavalca je vektorska vsota njegove hitrosti (glede na reko, narisano navpično navzgor) in hitrosti reke (vlečene od leve proti desni), ki se izvede, kot je prikazano na spodnji sliki:
Višina nastale hitrosti ustreza prikazani hipotenuzi desnega trikotnika:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / h = 7,2 km / h
Smer lahko izračunamo po kotu glede na pravokotno na obalo:
α = arctg (4/6) = 33,7º ali 56,3º glede na obalo.
Vaja 2
Poiščite trenutek parov sil, prikazanih na sliki:
Rešitev
Trenutek izračuna:
M = r x F
Enote trenutka so lb-f.ft. Ker je par v ravnini zaslona, je trenutek usmerjen pravokotno nanj, navzven ali navznoter.
Ker navor v primeru nagiba predmet, na katerega je nanesen (kar ni prikazano na sliki) v smeri urinega kazalca, se ta trenutek šteje, da kaže na zaslon in z negativnim predznakom.
Velikost trenutka je M = Fdsen a, kjer je a kot med silo in vektorjem r. Za izračun trenutka, ki je prost vektor, morate izbrati točko. Izbran je referenčni sistem, zato gre r od O do točke uporabe vsake sile.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. stopalo
Neto moment je vsota M 1 in M 2 : -17329,5 lb-f. stopalo.
Reference
- Beardon, T. 2011. Uvod v vektorje. Pridobljeno: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Inženirska mehanika: Statika. Addison Wesley. 38–52.
- Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. Kinematika. 31–68.
- Fizično. Modul 8: Vektorji. Pridobljeno: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženirje. Statični 6. izdaja Založba Continental. 15–53.
- Kalkulator vektorskih dodatkov. Pridobljeno: 1728.org
- Vektorji. Pridobljeno: en.wikibooks.org