DISKRETNA FOURIEROVA TRANSFORMACIJA: LASTNOSTI, APLIKACIJE, PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

Diskretna Fourierova transformacija je numerična metoda za določanje vzorcev, ki se nanašajo na spektralne frekvence, ki sestavljajo signal. Proučuje periodične funkcije v zaprtih parametrih, zaradi česar dobi še en diskreten signal.

Za pridobitev diskretne Fourierove transformacije N točk na diskretnem signalu je treba izpolniti naslednja dva pogoja v zaporedju x

TDF

Diskretno Fourierovo transformacijo lahko definiramo kot vzorčenje N-točke Fourierove transformacije.

Interpretacija diskretne Fourierove transformacije

Vir: Pexels

Obstajata dve stališči, s katerih lahko rezultate, dobljene na zaporedju x _s, interpretiramo s pomočjo diskretne Fourierove transformacije.

-Prvi ustreza spektralnim koeficientom, ki jih poznamo že iz serije Fourier. Opazimo ga v diskretnih periodičnih signalih, pri čemer vzorci sovpadajo z zaporedjem x _s .

-Druga obravnava spekter diskretnega aperiodnega signala z vzorci, ki ustrezajo zaporedju x _s .

Diskretna pretvorba je približek spektru izvirnega analognega signala. Njegova faza je odvisna od vzorcev, medtem ko je njena velikost odvisna od intervala vzorčenja.

Lastnosti

Algebrski temelji strukture sestavljajo utemeljitev za naslednje odseke.

Linearnost

C. S _n → C. F; Če zaporedje pomnožimo s skalarjem, bo tudi njegova preobrazba.

T _n + V _n = F + F; Preoblikovanje vsote je enako vsoti pretvorb.

Dvojnost

F → (1 / N) S _-k; Če diskretno Fourierovo pretvorbo preračunamo na že preoblikovan izraz, dobimo enak izraz, pomanjšan v N in obrnjen glede na navpično os.

Konvolucija

Z zasledovanjem podobnih ciljev kot pri Laplasovi preobrazbi se uvijanje funkcij nanaša na izdelek med njihovimi Fourierjevimi transformacijami. Convolucija velja tudi za diskretne čase in je odgovorna za številne sodobne postopke.

X _n * R _n → F .F; Preoblikovanje vretena je enako produktu pretvorb.

X _n . R _n → F * F; Preoblikovanje izdelka je enako konvoluciji pretvorb.

Izselitev

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Če zaporedje zamudi m vzorcev, bo njegov vpliv na diskretno pretvorbo sprememba kota, določenega s (2π / N) km.

Simetrija

X _t = X * _t = X _t

Modulacija

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Izdelek

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetrija

X ↔ X _t = X * _t

Konjugirajte

x * ↔ X * _t

Parseval enačba

V primerjavi s konvencionalno Fourierovo preobrazbo ima več podobnosti in razlik. Fourierova transformacija pretvori zaporedje v trdno črto. Na ta način pravijo, da je rezultat spremenljivke Fourier zapletena funkcija realne spremenljivke.

V nasprotju s tem diskretna Fourierova transformacija sprejme diskretni signal in ga pretvori v drug diskretni signal, torej zaporedje.

Zakaj je namenjena diskretna Fourierova transformacija?

Služijo predvsem za poenostavitev enačb, hkrati pa pretvorijo izpeljane izraze v elemente moči. Označevanje diferencialnih izrazov v integrabilnih polinomnih oblikah.

Pri optimizaciji, modulaciji in modeliranju rezultatov deluje kot standardiziran izraz, saj je že več generacij pogost vir inženiringa.

Vir: pixabay

Zgodovina

Ta matematični koncept je leta 1811 uvedel Joseph B. Fourier, medtem ko je razvijal traktat o širjenju toplote. Hitro so jo sprejele različne veje znanosti in tehnike.

Vzpostavili so ga kot glavno delovno orodje pri preučevanju enačb z delnimi derivati, primerjali so ga celo z obstoječim delovnim razmerjem med Laplaceovo transformacijo in navadnimi diferencialnimi enačbami.

Vsaka funkcija, ki jo je mogoče delati s Fourierovo transformacijo, mora biti nična izven določenega parametra.

Diskretna Fourierova transformacija in njena obratna stran

Diskretna transformacija dobimo z izrazom:

Po diskretnem zaporedju X

Inverzna diskretna Fourierova transformacija je določena s pomočjo izraza:

Vzvratna gred

Ko je dosežena diskretna transformacija, omogoča določitev zaporedja v časovni domeni X.

Krilati

Postopek parametrizacije, ki ustreza diskretni Fourierovi transformaciji, leži v okencu. Za delo preoblikovanja moramo časovno omejiti zaporedje. V mnogih primerih zadevni signali nimajo teh omejitev.

Zaporedje, ki ne ustreza merilom velikosti za diskretno pretvorbo, se lahko pomnoži s funkcijo "okno" V, ki definira vedenje zaporedja v nadzorovanem parametru.

X. V

Širina spektra bo odvisna od širine okna. Ko se širina okna povečuje, bo izračunana pretvorba ožja.

Prijave

Izračun temeljne rešitve

Diskretna Fourierova transformacija je močno orodje pri preučevanju diskretnih zaporedij.

Diskretna Fourierova transformacija pretvori neprekinjeno spremenljivo funkcijo v diskretno spremenljivo transformacijo.

Problem Cauchy za enačbo toplote predstavlja pogosto področje uporabe diskretne Fourierove transformacije . Kjer nastane jedrna funkcija toplote ali jedra Dirichleta, kar velja za vrednosti vzorčenja v določenem parametru.

Teorija signalov

Splošni razlog za uporabo diskretne Fourierove transformacije v tej veji je predvsem zaradi značilne razgradnje signala kot neskončne superpozicije lažje obdelanih signalov.

Lahko je zvočni val ali elektromagnetno valovanje, diskretna Fourierova transformacija jo izrazi v superpoziciji preprostih valov. Ta zastopanost je v elektrotehniki precej pogosta.

Serija Fourier

So serije, opredeljene v smislu Cosines in Sines. Služijo za lažje delo s splošnimi periodičnimi funkcijami. Ko so uporabljene, so del tehnik za reševanje navadnih in delnih diferencialnih enačb.

Fourierjeve serije so še bolj splošne od Taylorjevih serij, saj razvijejo periodične diskontinuirane funkcije, ki nimajo Taylorjeve predstavitve.

Druge oblike serije Fourier

Da bi analitično razumeli Fourierovo preobrazbo, je pomembno pregledati druge načine, kako najti Fourierjevo vrsto, dokler ne bomo lahko opredelili Fourierove serije v njeni zapleteni notaciji.

-Fourier serija v funkciji obdobja 2L:

Upošteva se interval, ki nudi prednosti pri izkoriščanju simetričnih značilnosti funkcij.

Če je f enakomeren, se serija Fourier vzpostavi kot niz kosinusov.

Če je f neparno, se serija Fourier vzpostavi kot niz Sines.

-Kompleksna oznaka serije Fourier

Če imamo funkcijo f (t), ki ustreza vsem zahtevam serije Fourier, jo je mogoče označiti v intervalu z uporabo njegovega zapletenega zapisa:

Primeri

Glede izračuna temeljne rešitve so predstavljeni naslednji primeri:

Naslednji primeri so primeri uporabe diskretne Fourierove transformacije na področju teorijske signale:

- Težave z identifikacijo sistema Ustanovljena f in g

-Problem s konsistentnostjo izhodnega signala

-Problemi s filtriranjem signala

Vaje

Vaja 1

Izračunajte diskretno Fourierovo pretvorbo za naslednje zaporedje.

PTO od x lahko definirate kot:

X _t = {4, -j2, 0, j2} za k = 0, 1, 2, 3

Vaja 2

S pomočjo digitalnega algoritma želimo določiti spektralni signal, ki je določen z izrazom x (t) = e ^-t . Če je največji frekvenčni koeficient zahteve f _m = 1Hz. Harmonika ustreza f = 0,3 Hz. Napaka je omejena na manj kot 5%. Izračunajte f _s , D in N.

Upoštevajoč teorem vzorčenja f _s = 2f _m = 2 Hz

Izbrana je frekvenčna ločljivost f ₀ = 0,1 Hz, iz katere dobimo D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz je frekvenca, ki ustreza indeksu k = 3, kjer je N = 3 × 8 = 24 vzorcev. Kaže, da je f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Ker je cilj doseči najnižjo možno vrednost za N, se za rešitev lahko štejejo naslednje vrednosti:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Reference

1. Obvladovanje diskretne Furijeve transformacije v eni, dveh ali več dimenzijah: pasti in artefakti. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19. julij. 2013
2. DFT: Navodila za uporabo za diskretno preoblikovanje Fourierja. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1. januarja. devetnajst devetdeset pet
3. Digitalna obdelava signalov: teorija in praksa. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformi in hitri algoritmi za analizo signalov in predstavitve. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. dec. 2012
5. Diskretne in kontinuirane Fourierove transformacije: analiza, aplikacije in hitri algoritmi. Eleanor Chu. CRC Press, 19. mar. 2008