CHEBYSHOV IZREK: KAJ JE, APLIKACIJE IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Izrek Chebyshev (Chebyshev ali neenakost) je eden od najbolj pomembnih klasičnih rezultatov teorije verjetnosti. Omogoča oceno verjetnosti dogodka, opisanega v naključni spremenljivki X, tako da nam da vezo, ki ni odvisna od porazdelitve naključne spremenljivke, temveč od variance X.

Teorem je poimenovan po ruskem matematiku Pafnutyju Čebišovu (napisan tudi kot Čebičev ali Tchebycheff), ki je kljub temu, da ni izjavil prvi, izkazal leta 1867.

Ta neenakost ali tiste, ki se zaradi svojih značilnosti imenujejo Čebiškova neenakost, se uporablja predvsem za približevanje verjetnosti z izračunom meja.

Iz česa je sestavljeno?

Pri preučevanju teorije verjetnosti ugotovimo, da če je znana porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke X, je mogoče izračunati njeno pričakovano vrednost - ali matematično pričakovanje E (X) - in njeno varianco Var (X), dokler takšni zneski obstajajo. Vendar obratno ni nujno res.

To pomeni, da ob poznavanju E (X) in Var (X) ni nujno, da dobimo funkcijo porazdelitve X, zato je količine, kot je P (-X-> k), za nekatere k> 0 zelo težko dobiti. Toda zahvaljujoč Čebiškovi neenakosti je mogoče oceniti verjetnost naključne spremenljivke.

Čebyshov izrek nam pravi, da če imamo naključno spremenljivko X nad vzorčnim prostorom S s verjetnostno funkcijo p in če je k> 0, potem:

Vloge in primeri

Med številnimi aplikacijami Čebyshovega izrekanja lahko omenimo naslednje:

Omejevanje verjetnosti

To je najpogostejša aplikacija in se uporablja za podajanje zgornje meje za P (-XE (X) -≥k), kjer je k> 0, le z odstopanjem in pričakovanjem naključne spremenljivke X, ne da bi vedeli funkcijo verjetnosti .

Primer 1

Recimo, da je število izdelkov, izdelanih v podjetju v enem tednu, naključna spremenljivka s povprečjem 50.

Če je znano odstopanje v enem tednu proizvodnje enako 25, kaj lahko rečemo o verjetnosti, da se bo ta teden proizvodnja razlikovala za več kot 10 od povprečne?

Rešitev

Če uporabimo Čebiškovo neenakost, imamo:

Iz tega lahko razberemo, da je verjetnost, da v proizvodnem tednu število izdelkov presega povprečje za več kot 10, največ 1/4.

Dokazi mejne teoreme

Čebyshova neenakost igra pomembno vlogo pri dokazovanju najpomembnejših mejnih izrek. Kot primer imamo naslednje:

Šibek zakon velikega števila

Ta zakon navaja, da glede na zaporedje X1, X2,…, Xn,… neodvisnih naključnih spremenljivk z enako povprečno porazdelitvijo E (Xi) = μ in variance Var (X) = σ ² , in znanim srednjim vzorcem:

Potem za k> 0 imamo:

Ali pa enako:

Demonstracija

Najprej opazimo naslednje:

Ker so X1, X2,…, Xn neodvisni, sledi, da:

Zato je mogoče navesti naslednje:

Potem s pomočjo Čebyshovega izrekamo:

Končno izrek izhaja iz dejstva, da je meja na desni enaka nič, ko se n približuje neskončnosti.

Treba je opozoriti, da je bil ta test narejen samo za primer, ko obstaja varianta Xi; se pravi, da se ne razhaja. Tako opažamo, da je teorem vedno resničen, če obstaja E (Xi).

Čebyshov mejni izrek

Če je X1, X2,…, Xn,… zaporedje neodvisnih naključnih spremenljivk, tako da obstaja nekaj C <neskončnosti, tako da je Var (Xn) ≤ C za vse naravne n, potem za kateri koli k> 0:

Demonstracija

Ker je zaporedje variacij enakomerno omejeno, imamo Var (Sn) ≤ C / n, za vse naravne n. Vemo pa, da:

Da se n nagiba k neskončnosti, so naslednji rezultati:

Ker verjetnost ne more preseči vrednosti 1, dobimo želeni rezultat. Kot rezultat tega izrek bi lahko omenili poseben primer Bernoullija.

Če se poskus ponovi n-krat neodvisno z dvema možnima izidoma (neuspeh in uspeh), kjer je p verjetnost uspeha v vsakem poskusu in X je naključna spremenljivka, ki predstavlja število doseženih uspehov, potem za vsak k> 0 moraš:

Velikost vzorca

Čebyshova neenakost nam glede na varianto omogoča, da najdemo velikost vzorca n, ki zadostuje za zagotovitev, da je verjetnost, da se pojavi -Sn-μ -> = k, čim manjša, kar nam omogoča približek do povprečja.

Konkretno, naj bodo X1, X2,… Xn vzorec neodvisnih naključnih spremenljivk velikosti n in predpostavimo, da je E (Xi) = μ in njegova varianca σ ² . Po Chebyshovi neenakosti torej imamo:

Primer

Predpostavimo, da so X1, X2,… Xn vzorec neodvisnih naključnih spremenljivk z Bernoullijevo porazdelitvijo, tako da sprejmejo vrednost 1 z verjetnostjo p = 0,5.

Kolikšna mora biti velikost vzorca, da lahko zagotovimo, da je verjetnost, da je razlika med aritmetično srednjo vrednostjo Sn in njeno pričakovano vrednostjo (večjo od 0,1), manjša ali enaka 0,01?

Rešitev

Imamo, da je E (X) = μ = p = 0,5 in da je Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Po Čebiškovi neenakosti za vsak k> 0 imamo:

Zdaj, če k = 0,1 in δ = 0,01, imamo:

Na ta način se sklene, da je za zagotovitev, da je verjetnost dogodka -Sn - 0,5 -> = 0,1 manjša od 0,01, potrebna velikost vzorca.

Neenakosti Čebyshovega tipa

Obstaja več neenakosti, povezanih s Čebiškovo neenakostjo. Ena najbolj znanih je Markova neenakost:

V tem izrazu je X negativna naključna spremenljivka s k, r> 0.

Markova neenakost je lahko v različnih oblikah. Na primer, naj bo Y negativna naključna spremenljivka (torej P (Y> = 0) = 1) in predpostavimo, da obstaja E (Y) = μ. Predpostavimo tudi, da (E (Y)) ^r = μ _r obstaja za celo celo število r> 1. Torej:

Druga neenakost je Gaussova, ki nam pove, da smo glede na unimodalno naključno spremenljivko X z modelom na ničli potem za k> 0,

Reference

1. Kai Lai Chung. Elementarna teorija donosnosti s stohastičnimi procesi. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Verjetnost in statistične aplikacije. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Dr. Seymour Lipschutz 2000 rešenih problemov diskretne matematike. McGRAW-HILL.
5. Dr. Seymour Lipschutz Teoretične in verjetnostne težave. McGRAW-HILL.