TEHNIKE ŠTETJA: TEHNIKE, APLIKACIJE, PRIMERI, VAJE - DUDE - 2026

V tehnike štetja so vrsta verjetnostnih metod za štetje števila možnih dogovorov znotraj sklopa ali več sklopov objektov. Te se uporabljajo, ko ročno vodenje računov postane zapleteno zaradi velikega števila predmetov in / ali spremenljivk.

Na primer, rešitev te težave je zelo preprosta: predstavljajte si, da vas šef prosi, da preštejete najnovejše izdelke, ki so prišli v zadnji uri. V tem primeru lahko izdelke preštejete enega za drugim.

Vendar si predstavljajte, da je težava v tem: vaš šef vas prosi, da preštejete, koliko skupin 5 izdelkov istega tipa se lahko oblikuje s tistimi, ki so prispeli v zadnji uri. V tem primeru je izračun zapleten. Za tovrstno situacijo se uporabljajo tako imenovane tehnike štetja.

Te tehnike so različne, najpomembnejša pa so razdeljena na dva osnovna načela, ki sta multiplikativni in aditivni; permutacije in kombinacije.

Multiplikativno načelo

Prijave

Multiplikativno načelo, skupaj z dodatkom, je osnovno za razumevanje delovanja tehnik štetja. V primeru multiplikative je sestavljen iz naslednjega:

Zamislimo si dejavnost, ki vključuje določeno število korakov (skupno označimo kot "r"), pri čemer je prvi korak mogoče izvesti na N1 načine, drugi korak v N2 in korak "r" na Nr načine. V tem primeru bi lahko dejavnost izvedli iz števila oblik, ki izhajajo iz te operacije: N1 x N2 x ……… .x Nr oblike

Zato se to načelo imenuje multiplikativno in pomeni, da je treba vsak korak, ki je potreben za izvajanje dejavnosti, izvesti drug za drugim.

Primer

Predstavljajmo si osebo, ki želi zgraditi šolo. Če želite to narediti, upoštevajte, da je osnova stavbe lahko zgrajena na dva različna načina, iz cementa ali betona. Kar zadeva stene, so lahko iz adobe, cementa ali opeke.

Kar zadeva streho, je lahko iz cementa ali pocinkane pločevine. Končno slikanje je mogoče narediti le na en način. Vprašanje, ki se postavlja, je naslednje: Koliko načinov mora zgraditi šolo?

Najprej upoštevamo število korakov, ki bi bili osnova, stene, streha in barva. Skupaj 4 korake, torej r = 4.

Sledi seznam N-jev:

N1 = načini za gradnjo osnove = 2

N2 = načini za gradnjo sten = 3

N3 = načini izdelave strehe = 2

N4 = načini slikanja = 1

Zato bi število možnih oblik izračunali po zgoraj opisani formuli:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 načinov šolanja.

Načelo aditiva

Prijave

To načelo je zelo preprosto in je sestavljeno iz dejstva, da je v primeru, da obstaja več alternativnih možnosti za isto dejavnost, možni načini sestavljeni iz vsote različnih možnih načinov izvedbe vseh drugih možnosti.

Z drugimi besedami, če želimo izvesti dejavnost s tremi alternativami, pri čemer lahko prvo alternativo naredimo na M načine, drugo na N načine in zadnjo na W načine, lahko dejavnost izvedemo na: M + N + ……… + W oblike.

Primer

Predstavljajmo si tokrat osebo, ki želi kupiti teniški lopar. To lahko storite med tremi znamkami: Wilson, Babolat ali Head.

Ko greš v trgovino, vidiš, da je Wilson lopar mogoče kupiti z ročajem v dveh različnih velikostih, L2 ali L3 v štirih različnih modelih in ga je mogoče nanizati ali odlepiti.

Lopar Babolat ima na drugi strani tri ročaje (L1, L2 in L3), obstajata dva različna modela in ga je mogoče nanizati ali odviti.

Lopar Head je na voljo le z enim ročajem, L2, v dveh različnih modelih in samo odpet. Vprašanje je: Koliko načinov mora ta oseba kupiti svoj lopar?

M = Število načinov za izbiro Wilson loparja

N = Število načinov za izbiro loparja Babolat

W = Število načinov za izbiro nosilca

Izvajamo princip množitelja:

M = 2 x 4 x 2 = 16 oblik

N = 3 x 2 x 2 = 12 načinov

Š = 1 x 2 x 1 = 2 načina

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 načinov izbire loparja.

Če želite vedeti, kdaj uporabiti načelo multiplikativ in aditiva, morate samo pogledati, ali ima dejavnost vrsto korakov, in če obstaja več možnosti, dodatek.

Permutacije

Prijave

Če želite razumeti, kaj je permutacija, je pomembno razložiti, kaj je kombinacija, da jih lahko razlikujete in veste, kdaj jih uporabljati.

Kombinacija bi bila razporeditev elementov, v katerih nas položaj, ki ga zaseda vsak, ne zanima.

Permutacija bi bila po drugi strani ureditev elementov, v katerih nas zanima položaj, ki ga zaseda vsak od njih.

Dajmo primer, da bolje razumemo razliko.

Primer

Predstavljajmo si razred s 35 študenti in z naslednjimi situacijami:

1. Učitelj želi, da mu trije učenci pomagajo pri vzdrževanju učilnice čiste ali da po potrebi drugim učencem predajo gradivo.
2. Učitelj želi imenovati delegate v razredu (predsednika, pomočnika in finančnika).

Rešitev bi bila naslednja:

1. Predstavljajmo si, da se z glasovanjem izberejo Juan, María in Lucía za čiščenje razreda ali dostavo gradiva. Očitno bi lahko med 35 možnimi študenti oblikovali tudi druge skupine po tri.

Vprašati se moramo naslednje: ali je pri njihovem izbiranju pomemben vrstni red ali položaj vsakega študenta?

Če razmislimo, vidimo, da to res ni pomembno, saj bo skupina za obe nalogi enakovredno zadolžena. V tem primeru gre za kombinacijo, saj nas položaj elementov ne zanima.

1. Zdaj pa si predstavljajmo, da je Juan izvoljen za predsednika, Marija za pomočnika, Lucia pa finančnik.

Ali bi bil v tem primeru pomemben vrstni red? Odgovor je pritrdilen, kajti če spremenimo elemente, se rezultat spremeni. To pomeni, če bi namesto Juana za predsednika postavili za pomočnika in Marijo za predsednika, bi se končni rezultat spremenil. V tem primeru gre za permutacijo.

Ko bomo razliko razumeli, bomo dobili formule za permutacije in kombinacije. Vendar moramo najprej opredeliti izraz "n!" (ene factorial), saj se bo uporabljal v različnih formulah.

n! = izdelek od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Uporaba s stvarnimi številkami:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Formula permutacij bi bila naslednja:

nPr = n! / (nr)!

Z njim lahko ugotovimo, kje je vrstni red pomemben in kje n elementov.

Kombinacije

Prijave

Kot smo že komentirali, so kombinacije razporeditve, pri katerih nam ni mar za položaj elementov.

Njegova formula je naslednja:

nCr = n! / (nr)! r!

Primer

Če je 14 učencev, ki želijo prostovoljno očistiti učilnico, koliko skupin za čiščenje se lahko oblikuje, če mora biti v vsaki skupini 5 ljudi?

Rešitev bi bila torej naslednja:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 skupine

Rešene vaje

Vaja 1

Vir: Pixabay.com

Mati Natalijo prosi, naj gre v trgovino in ji kupi soda, da se ohladi. Ko Natalia uslužbenko vpraša za pijačo, ji reče, da obstajajo štirje okusi brezalkoholnih pijač, tri vrste in tri velikosti.

Okusi brezalkoholnih pijač so lahko: kola, limona, pomaranča in meta.

Vrste kola so lahko: navadna, brez sladkorja, brez kofeina.

Velikosti so lahko: majhne, ​​srednje velike in velike.

Natalijina mama ni navedla, kakšno brezalkoholno pijačo bi želela.Koliko načinov mora Natalia kupiti pijačo?

Rešitev

M = velikost in številka vrste, ki jo lahko izberete pri izbiri cole.

N = Število velikosti in vrste, ki ga lahko izberete pri izbiri limonine sode.

W = velikost in številka vrste, ki jo lahko izberete pri izbiri pomarančne sode.

Y = velikost in številka vrste, ki jo lahko izberete pri izbiri mete.

Izvajamo princip množitelja:

M = 3 × 3 = 9 načinov

N = 3 × 3 = 9 načinov

Š = 3 × 3 = 9 načinov

Y = 3 × 3 = 9 načinov

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 načinov izbire sode.

Vaja 2

Vir: pixabay.com

Športno društvo oglašuje delavnice brezplačnega dostopa, da se otroci naučijo drsati. Vpiše se 20 otrok, zato se odločijo, da jih bodo razdelili v dve skupini po deset ljudi, da bi inštruktorji lahko pouk poučevali bolj udobno.

Po drugi strani se odločijo risati, v katero skupino bo padel vsak otrok. Koliko različnih skupin bi lahko otrok vpisal?

Rešitev

V tem primeru najdemo odgovor s tehniko kombiniranja, katere formula je bila: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (število otrok)

r = 10 (velikost skupine)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 skupin.

Reference

1. Jeffrey, RC, Verjetnost in umetnost sodbe, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Uvod v teorijo verjetnosti in njene uporabe", (Zvezek 1), 3. izd, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logični temelji in merjenje subjektivne verjetnosti". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Uvod v matematično statistiko (6. izd.) Reka Zgornje sedlo: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Dokazi in verjetnost pred Pascalom, Johns Hopkins University Press.