- Keplerjevi 3 zakoni
- Zakon univerzalne gravitacije in Keplerjev tretji zakon
- Rešitev b
- Preizkus
- materiali
- Proces
- Izračun površine eliptičnega odseka
- Preverjanje zakona o enakih območjih
- Reference
V Kepler 's zakoni gibanja planetov je izdelal nemški astronom Johannes Kepler (1571-1630). Kepler jih je sklepal na podlagi dela svojega učitelja danskega astronoma Thoha Braheja (1546-1601).
Brahe je podatke o gibanju planetov skrbno zbiral v več kot 20 letih, s presenetljivo natančnostjo in natančnostjo, če upoštevamo, da takrat teleskop še ni bil izumljen. Veljavnost vaših podatkov ostaja veljavna tudi danes.
Slika 1. Orbite planetov po Keplerjevih zakonih. Vir: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)
Keplerjevi 3 zakoni
Keplerjevi zakoni določajo:
-Prvi zakon : vsi planeti opisujejo eliptične orbite s Soncem v enem od žarišč.
To pomeni, da je razmerje T 2 / r 3 enako za vse planete, kar omogoča izračun orbitalnega polmera, če je orbitalno obdobje znano.
Ko je T izražen v letih in r v astronomskih enotah AU *, je konstanta sorazmernosti k = 1:
* Ena astronomska enota je enaka 150 milijonov kilometrov, kar je povprečna razdalja med Zemljo in Soncem. Orbitalno obdobje Zemlje je 1 leto.
Zakon univerzalne gravitacije in Keplerjev tretji zakon
Univerzalni zakon gravitacije pravi, da je velikost gravitacijske sile privlačnosti med dvema objektoma mase M oziroma m, katerih središča sta ločena z razdaljo r, dana:
G je univerzalna gravitacijska konstanta in njena vrednost je G = 6.674 x 10 -11 Nm 2 / kg 2 .
Zdaj so orbite planetov eliptične z zelo majhno ekscentričnostjo.
To pomeni, da orbita ni zelo daleč od oboda, razen v nekaterih primerih, kot je pritlikavi planet Pluton. Če orbite približamo krožni obliki, pospešimo gibanje planeta:
Ker je F = ma, imamo:
Tu je v linearna hitrost planeta okoli Sonca, predpostavljena statična in masa M, medtem ko je hitrost planeta m. Torej:
To pojasnjuje, da imajo planeti dlje od Sonca nižjo orbitalno hitrost, saj je to odvisno od 1 / √r.
Ker je oddaljenost planeta približno dolžina oboda: L = 2πr in traja čas, enak T, orbitalnem obdobju, dobimo:
Enačba obeh izrazov za v daje veljaven izraz za T 2 , kvadrat orbitalnega obdobja:
In prav to je Keplerjev tretji zakon, saj je v tem izrazu oklepaji 4π 2 / GM je konstantna, torej T 2 je sorazmerna z razdaljo r kubični je.
Dokončno enačbo za orbitalno obdobje dobimo tako, da vzamemo kvadratni koren:
Slika 3. Afelij in perihelion. Vir: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Javna last
Zato v tretjem zakonu Keplerja nadomestimo r, ki ima za Halleyja naslednje:
Rešitev b
a = ½ (Perihelion + Aphelion)
Preizkus
Analiza gibanja planetov zahteva tedne, mesece in celo leta skrbnega opazovanja in snemanja. Toda v laboratoriju je mogoče izvesti zelo preprost eksperiment na zelo preprostem merilu, da se dokaže, da drži Keplerjev zakon enakih površin.
Za to je potreben fizični sistem, v katerem je osrednja sila, ki upravlja gibanje, zadosten pogoj, da je treba izpolniti pravo področij. Tak sistem je sestavljen iz mase, vezane na dolgo vrv, z drugim koncem navoja, ki je pritrjen na oporo.
Maso premaknemo pod majhnim kotom od ravnotežnega položaja in ji damo rahel impulz, tako da v vodoravni ravnini izvaja ovalno (skoraj eliptično) gibanje, kot da bi bil planet okoli Sonca.
Na krivulji, ki jo opisuje nihalo, lahko dokažemo, da v enakih časih pometa enaka območja, če:
-Radimo vektorske polmere, ki gredo od središča privlačnosti (začetna točka ravnotežja) do položaja mase.
- In pomestiva se med dvema zaporednima trenutkoma enakega trajanja na dveh različnih področjih gibanja.
Daljši kot je nihalo in manjši kot od navpičnice bo neto obnavljajoča sila bolj vodoravna in simulacija podobna primeru gibanja z osrednjo silo v ravnini.
Nato se opisani oval približa elipsi, kot je tista, po kateri planeti potujejo.
materiali
-Nezamenljiva nit
-1 masa ali kovinska kroglica, pobarvana belo, ki deluje kot nihalo
-Pravilnik
-Konporter
-Fotografska kamera z avtomatskim strobo diskom
-Podpira
- Dva vira razsvetljave
-List črnega papirja ali kartona
Proces
Sestavljanje figure je potrebno za fotografiranje več utripov nihala, ko sledi svoji poti. Za to morate kamero postaviti nad nihalo in avtomatski strobo disk pred objektivom.
Slika 4. Sestavljanje nihala za preverjanje, da v enakih časih pometa enaka območja. Vir: Laboratorijski vodnik PSSC.
Na ta način slike dobimo v rednih časovnih intervalih nihala, na primer vsakih 0,1 ali vsakih 0,2 sekunde, kar nam omogoča, da vemo, koliko časa je minilo iz ene točke v drugo.
Prav tako morate pravilno osvetliti maso nihala, pri čemer postavite luči na obeh straneh. Leča mora biti pobarvana belo, da izboljšate kontrast na ozadju, ki je sestavljen iz črnega papirja, razporejenega po tleh.
Zdaj morate preveriti, da nihalo pometa enake površine v enakih časih. V ta namen se izbere časovni interval in točke, ki jih zasede nihalo v tem intervalu, so označene na papirju.
Na sliki se črta črta od središča ovala do teh točk in tako bomo imeli prvo od območij, ki jih je nihalo, to je približno eliptični sektor, kot je prikazano spodaj:
Slika 5. Območje eliptičnega sektorja. Vir: F. Zapata.
Izračun površine eliptičnega odseka
S potisnikom se izmerita kota θ o in θ 1 , s to formulo pa najdemo S, območje eliptičnega sektorja:
Z F (θ), ki ga poda:
Upoštevajte, da sta a in b glavni in manjši polos. Bralec mora skrbeti le za natančno merjenje polsil in kotov, saj obstajajo kalkulatorji na spletu, s katerimi lahko enostavno izrazijo ta izraz.
Če pa vztrajate, da izračun opravite ročno, ne pozabite, da je kot θ izmerjen v stopinjah, pri vnosu podatkov v kalkulator pa morajo biti vrednosti izražene v radianih.
Nato morate označiti še en par točk, v katerih je nihalo obrnjeno enak časovni interval, in narisati ustrezno območje, tako da izračunamo njegovo vrednost z istim postopkom.
Preverjanje zakona o enakih območjih
Nazadnje je treba preveriti, ali je zakon o območjih izpolnjen, to je, da se enaka območja pometajo v enakem času.
Ali rezultati nekoliko odstopajo od pričakovanega? Vedno je treba upoštevati, da vse meritve spremlja njihova eksperimentalna napaka.
Reference
- Keisan spletni kalkulator. Območje kalkulatorja eliptičnega sektorja. Pridobljeno: keisan.casio.com.
- Odpiranje davka. Keplerjev zakon planetarnega gibanja. Obnovljeno od: openstax.org.
- PSSC. Laboratorijska fizika. Uredništvo Reverté. Pridobljeno iz: books.google.co.
- Palen, S. 2002. Astronomija. Serija Schaum. McGraw Hill.
- Pérez R. Enostaven sistem z osrednjo silo. Pridobljeno: francesphysics.blogspot.com
- Stern, trije zakoni planetarnega gibanja D. Keplerja. Pridobljeno: phy6.org.