- Primeri antiderivatov
- Diferencialne enačbe
- Antiderivativne vaje
- - Vaja 1
- Rešitev za
- Rešitev b
- Rešitev c
- Rešitev e
- - Vaja 2
- Rešitev
- Reference
Odvoda P (x) funkcije f (x) se imenuje tudi primitivne ali preprosto nedoločeni integral omenjene funkcije, če je v določenem intervalu I, je izpolnjena, da F'(x) = f (x)
Za primer vzemimo naslednjo funkcijo:
f (x) = 4x 3
Antierivativa te funkcije je F (x) = x 4 , saj pri razlikovanju F (x) s pravilom izpeljave za moči:
Dobimo natančno f (x) = 4x 3 .
Vendar je to le eno izmed mnogih antideriva f (x), saj je ta druga funkcija: G (x) = x 4 + 2, ker pri razlikovanju G (x) glede na x dobimo isto nazaj f (x).
Preverimo:
Ne pozabite, da je izpeljanka konstante 0. Torej lahko izrazu x 4 dodamo katero koli konstanto in njen derivat bo ostal 4x 3 .
Sklepamo, da katera koli funkcija splošne oblike F (x) = x 4 + C, kjer je C resnična konstanta, služi kot antiderivativa f (x).
Zgornji ilustrativni primer lahko izrazimo tako:
dF (x) = 4x 3 dx
Antideriva ali nedoločen integral je izražen s simbolom ∫, torej:
F (x) = ∫4x 3 dx = x 4 + C
Kjer se funkcija f (x) = 4x 3 imenuje integrand, C pa stalnica integracije.
Primeri antiderivatov
Slika 1. Antiderivativa ni nič drugega kot nedoločen integral. Vir: Pixabay.
V nekaterih primerih, ko so derivati dobro znani, je iskanje antierivata funkcije preprosto. Na primer, naj bo funkcija f (x) = sin x, njeno antideriva je še ena funkcija F (x), tako da pri diferenciaciji dobimo f (x).
Ta funkcija je lahko:
F (x) = - cos x
Preverimo, ali je res:
F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x
Zato lahko zapišemo:
∫sen x dx = -cos x + C
Poleg poznavanja izpeljank obstaja nekaj osnovnih in preprostih pravil integracije, s katerimi lahko najdemo antiderivativni ali nedoločeni integral.
Naj bo k resnična konstanta, potem:
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Če se funkcija h (x) lahko izrazi kot seštevanje ali odštevanje dveh funkcij, potem je njen nedoločen integral:
3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± gg (x) dx
To je lastnost linearnosti.
Pravilo pristojnosti integralov je mogoče določiti na ta način:
V primeru n = -1 se uporabi naslednje pravilo:
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
Lahko je pokazati, da je izpeljanka ln x natančno x -1 .
Diferencialne enačbe
Diferencialna enačba je tista, v kateri se neznano najde kot izpeljanka.
Zdaj je iz prejšnje analize enostavno ugotoviti, da je obratna operacija na izpeljanki antierivativni ali nedoločeni integral.
Naj bo f (x) = y´ (x), torej izpeljanka določene funkcije. Za označitev tega izvoda lahko uporabimo naslednji zapis:
Takoj sledi, da:
Neznanka diferencialne enačbe je funkcija y (x), tista, katere izpeljanka je f (x). Za reševanje je na obeh straneh integriran prejšnji izraz, kar je enako uporabi antiderivativa:
Levi integral se reši s pravilom integracije 1, pri čemer je k = 1 in tako reši želeno neznanko:
In ker je C resnična konstanta, da vemo, kateri je primeren za vsak primer, mora izjava vsebovati dovolj dodatnih informacij za izračun vrednosti C. To imenujemo začetni pogoj.
Primere uporabe vsega tega bomo videli v naslednjem razdelku.
Antiderivativne vaje
- Vaja 1
Uporabite pravila integracije, da pridobite naslednje antideriva ali nedoločene integrale danih funkcij in čim bolj poenostavite rezultate. Rezultat je priročno preveriti z izpeljavo.
Slika 2. Vaje antideritivov ali določenih integralov. Vir: Pixabay.
Rešitev za
Najprej uporabimo pravilo 3, saj je integrand vsota dveh pojmov:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Za prvi integral velja pravilo o napajanju:
∫ dx = (x 2 /2) + C 1
V drugem integralnem pravilu se uporablja 1, kjer je k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
In zdaj so rezultati dodani. Dve konstanti sta združeni v eno, splošno imenovano C:
∫ (x + 7) dx = (x 2 /2) + 7x + C
Rešitev b
Ta integral je linearno razdeljen na tri preprostejše integrale, na katere bo uporabljeno pravilo moči:
∫ (x 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + ∫x 2 dx + ∫6 dx =
Upoštevajte, da se pri vsakem integralu pojavi stalnica integracije, vendar se srečajo v enem klicu C.
Rešitev c
V tem primeru je priročno uporabiti distribucijsko lastnost množenja za razvoj integranda. Nato uporabimo pravilo moči, da poiščemo vsak integral posebej, kot v prejšnji vaji.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x - 2) dx
Pozorni bralec bo ugotovil, da sta si dva osrednja izraza podobna, zato se pred integracijo zmanjšata:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 - 2x + C
Rešitev e
Eden od načinov reševanja integrala bi bil razvoj moči, kot je bilo storjeno v primeru d. Ker pa je eksponent višji, bi bilo priporočljivo spremeniti spremenljivko, da ne bi bilo potrebno tako dolgo razvijati.
Sprememba spremenljivke je naslednja:
u = x + 7
Izvajanje tega izraza na obe strani:
du = dx
Integral se z novo spremenljivko pretvori v enostavnejšo, ki je rešena s pravilom moči:
∫ (x + 7) 5 dx = ∫ u 5 du = (1/6) u 6 + C
Končno se sprememba vrne, da se vrne v prvotno spremenljivko:
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
- Vaja 2
Delček je sprva v mirovanju in se premika vzdolž osi x. Njen pospešek za t> 0 je podan s funkcijo a (t) = cos t. Znano je, da je pri t = 0 pozicija x = 3, vse v enotah mednarodnega sistema. Prosimo, da poiščemo hitrost v (t) in položaj x (t) delca.
Rešitev
Ker je pospešek prvi odvod hitrosti glede na čas, imamo naslednjo diferencialno enačbo:
a (t) = v´ (t) = cos t
Sledi, da:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1
Po drugi strani pa vemo, da je hitrost na koncu izpeljava položaja, zato ponovno vključimo:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C 1 ) dt = ∫sen t dt + ∫C 1 dt = - cos t + C 1 t + C 2
Konstante integracije se določijo iz informacij, navedenih v izjavi. Najprej piše, da je bil delček sprva v mirovanju, zato je v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
Potem imamo x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C 1 0 + C 2 = - 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
Funkcije hitrosti in položaja sta vsekakor takšni:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Reference
- Engler, A. 2019. Integralni račun. Nacionalna univerza Litoral.
- Larson, R. 2010. Izračun spremenljivke. 9. Izdaja. McGraw Hill.
- Brezplačna matematika. Antideriva. Pridobljeno: math.liibretexts.org.
- Wikipedija. Antideriva. Pridobljeno: en.wikipedia.org.
- Wikipedija. Neomejena integracija. Pridobljeno: es.wikipedia.org.