REZULTAT VEKTORJA: IZRAČUN, PRIMERI, VAJE - FIZIČNO - 2025

Nastali vektor je tista, pridobljen z operacijo z vektorji, katerih rezultat je tudi vektor. Običajno je ta operacija vsota dveh ali več vektorjev, s pomočjo katerih dobimo vektor, katerega učinek je enak.

Na ta način dobimo vektorje, kot so nastala hitrost, pospešek ali sila. Na primer, ko na telo deluje več sil F ₁ , F ₂ , F ₃ , … vektorska vsota vseh teh sil je enaka neto sili (dobljena), ki se matematično izrazi na naslednji način:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R ali F _N

Slika 1. Teža snega se porazdeli na streho in njegovo delovanje lahko nadomestimo z eno samo nastalo silo, ki jo uporabimo na ustreznem mestu. Vir: Pixabay.

Nastali vektor, ne glede na to, ali gre za sile ali katero koli drugo velikost vektorja, najdemo z uporabo pravil za vektorsko seštevanje. Ker imajo vektorji smer in smisel ter številčno vrednost, ni dovolj, da dodate module, da bi nastali vektor.

To velja le v primeru, ko so vpleteni vektorji v isto smer (glej primere). V nasprotnem primeru je treba uporabiti metode vektorskih vsot, ki so odvisno od primera lahko geometrijske ali analitične.

Primeri

Geometrične metode za iskanje dobljenega vektorja so prečna in paralelogramska metoda.

Kar zadeva analitične metode, obstaja metoda komponent, s katero lahko najdemo vektor, ki izhaja iz katerega koli sistema vektorjev, če imamo njegove kartezijanske komponente.

Geometrijske metode za dodajanje dveh vektorjev

Predpostavimo, da sta vektorja u in v (krepko jih označimo z ločnicami). Na sliki 2a) jih imamo na ravnini. Na sliki 2 b) je bil preveden v vektor v tako, da njegov izvor sovpada s koncem u . Nastali vektor gre od izvora prvega ( u ) do vrha zadnjega ( v ):

Slika 2. Nastali vektor iz grafične vsote vektorjev. Vir: self made.

Rezultat v tem primeru je trikotnik (trikotnik je tristranski mnogokotnik). Če imamo dva vektorja v isti smeri, je postopek enak: postavimo enega od vektorjev za drugim in narišemo tistega, ki gre od izvora ali repa prvega do konice ali konca zadnjega.

Upoštevajte, da vrstni red izvajanja tega postopka ni pomemben, saj je vsota vektorjev komutativna.

Upoštevajte tudi, da je v tem primeru modul (dolžina ali velikost) dobljenega vektorja vsota modulov dodanih vektorjev, za razliko od prejšnjega primera, v katerem je modul izhajajočega vektorja manjši od vsote udeleženski moduli

Parallelogramska metoda

Ta metoda je zelo primerna, ko morate dodati dva vektorja, katerih začetni točki se ujemata, recimo, z izvorom koordinatnega sistema xy. Recimo, da to velja za naša vektorja u in v (slika 3a):

Slika 3. Vsota dveh vektorjev z uporabo paralelogramske metode z dobljenim vektorjem v turkizno modri barvi. Vir: self made.

Na sliki 3b) je s pomočjo pikčastih črt, vzporednih u in v, zgrajen paralelogram . Nastali vektor ima svoj izvor na O in konec na mestu, kjer se pikčaste črte sekajo. Ta postopek je popolnoma enakovreden tistemu, ki je opisan v prejšnjem razdelku.

Vaje

-Vežba 1

Glede na naslednje vektorje poiščite dobljeni vektor po metodi prečkanja.

Slika 4. Vektorji, da s pomočjo poligonalne metode najdejo svoj rezultat. Vaja 1. Vir: lastna izdelava.

Rešitev

Prva od opaženih metod je prečna metoda. Ne pozabite, da je vsota vektorjev komutativna (vrstni red dodatkov ne spremeni seštevka), zato lahko začnete s katerim koli od vektorjev, na primer u (slika 5a) ali r (slika 5b):

Slika 5. Vsota vektorjev s pomočjo poligonalne metode. Vir: self made.

Slika dobljena je mnogokotnik in nastalo vektor (modro), se imenuje R . Če začnete z drugim vektorjem, je lahko oblikovana oblika drugačna, kot je prikazano v primeru, vendar je dobljeni vektor enak.

Vaja 2

Na naslednji sliki vemo, da sta modula vektorja u in v u = 3 poljubne enote in v = 1,8 poljubne enote. Kot da u prodira s pozitivnim osi x je 45 °, medtem ko je proti prodira 60 ° z osjo y, kot je prikazano na sliki. Poiščite rezultirajoči vektor, velikost in smer.

Rešitev

V prejšnjem razdelku smo dobljeni vektor našli z uporabo paralelogramske metode (v turkizni sliki na sliki).

Enostaven način za analitično iskanje izhajajočega vektorja je izražanje dodanih vektorjev glede na njihove kartezijanske sestavine, kar je enostavna naloga, ko sta poznana modul in kot, na primer vektorji v tem primeru:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektorja u in v sta vektorja, ki pripadata ravnini, zato imata vsak po dva sestavna dela. Vektor u je v prvem kvadrantu in njegove komponente so pozitivne, vektor v pa v četrtem kvadrantu; njegova komponenta x je pozitivna, vendar projekcija na navpično os pada na negativno os y.

Izračun kartezijanskih komponent dobljenega vektorja

Dobljeni vektor najdemo z dodajanjem algebrijskih ustreznih komponent x in y, da dobimo njihove kartezijanske komponente:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Ko so kartezijanske komponente določene, je vektor popolnoma znan. Nastali vektor lahko izrazimo z notacijo v oklepajih:

R = <3,68; 1.22> poljubne enote

Zaznamek oklepaja se uporablja za razlikovanje vektorja od točke v ravnini (ali v vesolju). Drugi način analitičnega izražanja nastalega vektorja je z uporabo enotnih vektorjev i in j v ravnini ( i , j in k v prostoru):

R = 3,68 i + 1,22 j poljubne enote

Ker sta obe komponenti dobljenega vektorja pozitivni, vektor R spada v prvi kvadrant, kar smo že videli grafično.

Velikost in smer dobljenega vektorja

Poznavanje Kartezijevem komponent, je obseg R izračunani preko Pitagorov izrek, saj dobljenega vektorja R , skupaj z njenimi sestavnimi deli R _x in R _ter tvorita desni trikotnik:

Velikost ali modul: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Smer q, ki ima kot referenco pozitivno os x: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Reference

1. Dodajanje vektorjev in pravil. Pridobljeno iz: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. Kinematika. 31–68.
3. Fizično. Modul 8: Vektorji. Pridobljeno: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženirje. Statični 6. izdaja Založba Continental. 15–53.
5. Kalkulator vektorskih dodatkov. Pridobljeno z: www.1728.org