DIREKTOR VEKTOR: ENAČBA PREMICE, REŠENE VAJE - FIZIČNO - 2025

Režiserjev vektor je tisti, ki definira smer črte v ravnini ali v vesolju. Zato lahko vektor, vzporeden s premico, štejemo kot usmerjevalni vektor le-te.

To je mogoče zahvaljujoč aksiomu evklidske geometrije, ki pravi, da dve točki definirata črto. Nato usmerjeni segment, ki ga tvorita ti dve točki, definira tudi režiserjev vektor omenjene črte.

Slika 1. Direktorski vektor črte. (Lastna izdelava)

Glede na točko P, ki pripada premici (L) in glede na režiserjev vektor u te premice, je premica popolnoma določena.

Enačba vektorja premice in režiserja

Slika 2. Enačba premice in režiserja. (Lastna izdelava)

Glede na točko P koordinat P: (Xo, I) in vektorja u direktorja premice (L) mora vsaka točka Q koordinat Q: (X, Y) ustrezati temu, da je vektor PQ vzporeden z u. Ta zadnji pogoj je zagotovljen, če je PQ sorazmeren z u :

PQ = t⋅ u

v zgornjem izrazu t je parameter, ki pripada dejanskim številom.

Če so zapisane kartezijanske komponente PQ in u , se zgornja enačba zapiše na naslednji način:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Če so sestavine vektorske enakosti izenačene, dobimo naslednji par enačb:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrična enačba premice

Koordinate X in Y točke, ki pripada premici (L), ki poteka skozi koordinatno točko (Xo, Yo) in je vzporedna z režiserjevim vektorjem u = (a, b), se določijo z dodelitvijo realnih vrednosti spremenljivemu parametru t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Primer 1

Za ponazoritev pomena parametrične enačbe premice vzamemo kot usmerjevalni vektor

u = (a, b) = (2, -1)

in kot znana točka premice točka

P = (Xo, I) = (1, 5).

Parametrična enačba premice je:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Za ponazoritev pomena te enačbe je prikazana slika 3, kjer parameter t spremeni svojo vrednost in točka Q koordinat (X, Y) na premici zasede različne položaje.

Slika 3. PQ = t u. (Lastna izdelava)

Linija v vektorski obliki

Glede na točko P na premici in njen direktor vektor u lahko enačbo premice zapišemo v vektorski obliki:

OQ = OP + λ⋅ u

V zgornji enačbi je Q katera koli točka, vendar pripada premici in je λ resnično število.

Vektorska enačba premice je uporabna za poljubno število dimenzij, določimo lahko celo hiper-črto.

V tridimenzionalnem primeru za režiserjev vektor u = (a, b, c) in točko P = (Xo, Yo, Zo) so koordinate generične točke Q = (X, Y, Z), ki pripadajo premici :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Primer 2

Ponovno razmislimo o črti, ki ima kot usmerjevalni vektor

u = (a, b) = (2, -1)

in kot znana točka premice točka

P = (Xo, I) = (1, 5).

Vektorska enačba omenjene premice je:

(X, Y) = (1,5) + λ⋅ (2, -1)

Nenehna oblika vrstice in režiserjev vektor

Izhajajoč iz parametrične oblike, izbrišemo in izenačimo parameter λ, imamo:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

To je simetrična oblika enačbe premice. Upoštevajte, da so a, b in c sestavni deli režiserjevega vektorja.

Primer 3

Razmislite o črti, ki ima kot usmerjevalni vektor

u = (a, b) = (2, -1)

in kot znana točka premice točka

P = (Xo, I) = (1, 5). Poiščite njegovo simetrično obliko.

Simetrična ali neprekinjena oblika črte je:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Splošna oblika enačbe premice

Splošna oblika premice v ravnini XY je znana kot enačba, ki ima naslednjo strukturo:

A⋅X + B⋅Y = C

Izraz za simetrično obliko lahko zapišemo v splošno obliko:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

v primerjavi s splošno obliko črte je:

A = b, B = -a in C = b⋅Xo - a⋅Yo

Primer 3

Poiščite splošno obliko vrstice, katere direktorjev vektor je u = (2, -1)

in ki gre skozi točko P = (1, 5).

Za iskanje splošne oblike lahko uporabimo dane formule, vendar bomo izbrali alternativno pot.

Začnemo z iskanjem dvojnega vektorja w režiserjevega vektorja u, ki je opredeljen kot vektor, dobljen z izmenjavo komponent u in pomnožitvijo drugega z -1:

w = (-1, -2)

dvojni vektor w ustreza vrtljanju režiserjevega vektorja v, za 90 ° v smeri urinega kazalca .

Skalarno pomnožimo w z (X, Y) in z (Xo, Yo) in postavimo enako:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

končno ostalo:

X + 2Y = 11

Standardna oblika enačbe premice

Znana je kot standardna oblika črte v ravnini XY, ki ima naslednjo strukturo:

Y = m⋅X + d

kjer m predstavlja naklon in d prestrez z osjo Y.

Glede na smer vektorja u = (a, b) je naklon m b / a.

Y d dobimo z zamenjavo X in Y za znano točko Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Skratka, m = b / a in d = I - (b / a) Xo

Upoštevajte, da je naklon m količnik med y komponento režiserjevega vektorja in x njeno komponento.

Primer 4

Poišči standardno obliko vrstice, katere režiser je vektor u = (2, -1)

in ki gre skozi točko P = (1, 5).

m = -½ in d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Rešene vaje

-Vežba 1

Poiščite režiserjev vektor črte (L), ki je presečišče ravnine (Π): X - Y + Z = 3 in ravnine (Ω): 2X + Y = 1.

Nato zapišite neprekinjeno obliko enačbe premice (L).

Rešitev

Iz enačbe ravnine (Ω) odmika Y: Y = 1 -2X

Nato v enačbi ravnine (Π) nadomestimo:

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Nato parametriziramo X, izberemo parametrizacijo X = λ

To pomeni, da ima premica vektorsko enačbo, ki jo poda:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

ki se lahko zapiše kot:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

s katerim je jasno, da je vektor u = (1, -2, -3) usmerjevalni vektor premice (L).

Nenehna oblika premice (L) je:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Vežba 2

Glede na ravnino 5X + a Y + 4Z = 5

in premica, katere enačba je X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Določite vrednost take, da sta ravnina in premica vzporedni.

2. rešitev

Vektor n = (5, a, 4) je vektor, normalen na ravnino.

Vektor u = (1, 3, -2) je usmerjevalni vektor premice.

Če je premica vzporedna z ravnino, je n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Prekalkulistična matematika. Dvorana Prentice PTR.
2. Kolman, B. (2006). Linearna algebra. Pearsonova vzgoja.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitska geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorji. Pridobljeno iz: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
6. Prenowitz, W. 2012. Osnovni pojmi geometrije. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.