NAČELO ADITIVA: IZ ČESA JE SESTAVLJENO IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Načelo aditiva je tehnika štetja verjetnosti, ki nam omogoča, da izmerimo, na koliko načinov je mogoče izvesti dejavnost, ki ima na voljo več možnosti, od katerih lahko hkrati izberemo le eno. Klasičen primer tega je, ko želite izbrati prometno linijo, ki bo šla iz enega kraja v drugega.

V tem primeru bodo alternative ustrezale vsem možnim prometnim linijam, ki pokrivajo želeno pot, bodisi zrak, morje ali kopno. Do mesta ne moremo hkrati z dvema prevoznima sredstvima; izbrati moramo samo enega.

Načelo dodatka nam pove, da bo število poti, ki jih moramo opraviti na tem potovanju, ustrezalo vsoti vseh možnih alternativnih prevoznih sredstev (prevoznih sredstev), da se odpravite do želenega kraja, to bo vključevalo celo prevozna sredstva, ki nekje postajajo (ali krajev) vmes.

Očitno bomo v prejšnjem primeru vedno izbrali najudobnejšo alternativo, ki najbolj ustreza našim možnostim, toda verjetno je zelo pomembno vedeti, na kakšen način lahko dogodek izvedemo.

Verjetnost

Na splošno je verjetnost polje matematike, ki je odgovorno za preučevanje dogodkov ali pojavov in naključnih eksperimentov.

Poskus ali naključni pojav je dejanje, ki ne daje vedno enakih rezultatov, tudi če se izvaja z enakimi začetnimi pogoji, ne da bi pri začetnem postopku ničesar spremenil.

Klasičen in preprost primer za razumevanje, iz česar je sestavljen naključni eksperiment, je dejanje metanja kovanca ali kocke. Dejanje bo vedno enako, ne bomo pa vedno dobili na primer "glave" ali "šestice".

Verjetnost je odgovorna za zagotavljanje tehnik za določanje, kako pogosto se lahko zgodi določen naključni dogodek; med drugimi nameni je glavni napovedati možne prihodnje dogodke, ki so negotovi.

Verjetnost dogodka

Še posebej, verjetnost, da se dogodek A zgodi, je resnično število med ničlo in enim; torej število, ki pripada intervalu. Označujemo ga s P (A).

Če je P (A) = 1, je verjetnost dogodka A 100%, in če je nič, ni možnosti, da bi se zgodil. Vzorčni prostor je skupek vseh možnih rezultatov, ki jih je mogoče dobiti z naključnim poskusom.

Glede na primer obstajajo vsaj štiri vrste ali pojmi verjetnosti: klasična verjetnost, pogostnost pogostnosti, subjektivna verjetnost in aksiomatska verjetnost. Vsak se osredotoča na različne primere.

Klasična verjetnost zajema primer, v katerem ima vzorčni prostor končno število elementov.

V tem primeru bo verjetnost pojava dogodka A število alternativ, ki so na voljo za pridobitev želenega rezultata (to je število elementov v nizu A), deljeno s številom elementov v vzorčnem prostoru.

Tu je treba upoštevati, da morajo biti vsi elementi vzorčnega prostora enako verjetni (na primer kot podatek, ki ni spremenjen, pri katerem je verjetnost, da dobimo katero koli od šestih števil, enaka).

Na primer, kakšna je verjetnost, da bo valjanje matrice dobilo liho število? V tem primeru bi bila množica A sestavljena iz vseh neparnih števil med 1 in 6, vzorec prostora pa bi bil sestavljen iz vseh števil od 1 do 6. Torej, A ima 3 elemente, vzorec prostora pa 6. Zato je P (A) = 3/6 = 1/2.

Kaj je načelo aditiva?

Kot smo že omenili, verjetnost meri, kako pogosto se določen dogodek zgodi. Kot del tega, da lahko določimo to pogostost, je pomembno vedeti, na koliko načinov se lahko ta dogodek izvede. Načelo aditiva nam omogoča, da ta izračun opravimo v posameznem primeru.

Načelo aditiva določa naslednje: Če je A dogodek, ki ima "a" načine izvedbe, in B je drug dogodek, ki ima "b" načine izvajanja, in če se poleg tega lahko zgodita samo A ali B in ne oba hkrati hkrati pa so načini za uresničitev A ali B (A deB) a + b.

Na splošno je to navedeno za združitev končnega števila nizov (večjih ali enakih 2).

Primeri

Prvi primer

Če knjigarna prodaja knjige o literaturi, biologiji, medicini, arhitekturi in kemiji, od katerih ima 15 različnih vrst knjig o literaturi, 25 o biologiji, 12 o medicini, 8 o arhitekturi in 10 o kemiji, koliko možnosti ima oseba izbrati knjigo o arhitekturi ali biologijo?

Načelo dodatka nam pove, da je število možnosti ali načinov za to izbiro 8 + 25 = 33.

To načelo se lahko uporabi tudi v primeru, da gre za en sam dogodek, ki ima različne možnosti, ki jih je treba izvesti.

Recimo, da želite izvesti določeno dejavnost ali dogodek A in da obstaja več možnosti zanjo, recimo n.

Prva alternativa ima ₁ način, kako je treba storiti, druga možnost ima _dva načina, in tako naprej, alternativno število n je mogoče storiti na _n načine.

Načelo aditiva določa, da se dogodek A lahko izvede na ₁ + do ₂ +… + na _n načine.

Drugi primer

Recimo, da si človek želi kupiti par čevljev. Ko prispe v trgovino s čevlji, najde le dva različna modela njegove velikosti čevljev.

Na voljo sta dve barvi ene, pet različnih barv druge. Koliko načinov mora ta oseba opraviti ta nakup? Po načelu aditiva je odgovor 2 + 5 = 7.

Načelo aditiva je treba uporabiti, kadar želite izračunati način izvedbe enega ali drugega dogodka, ne obeh hkrati.

Za izračun različnih načinov izvedbe dogodka skupaj ("in") z drugim - to je, da se morata oba dogodka zgoditi hkrati - se uporablja multiplikativno načelo.

Načelo aditiva je mogoče razlagati tudi po verjetnosti na naslednji način: verjetnost, da se zgodi dogodek A ali dogodek B, ki ga označimo s P (A∪B), pri čemer vemo, da se A ne more pojaviti hkrati z B, je podana s P (A∪B) = P (A) + P (B).

Tretji primer

Kolikšna je verjetnost, da boste pri metanju kovanca dobili 5, ko vržete matrico ali glave?

Kot je razvidno zgoraj, je na splošno verjetnost, da dobimo poljubno število pri valjanju matrice 1/6.

Zlasti je verjetnost, da dobite 5, tudi 1/6. Podobno je verjetnost, da boste ob metanju kovanca dobili glave, 1/2. Zato je odgovor na prejšnje vprašanje P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Reference

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Določitev stopnje klasične verjetnosti in njene uporabe. CRC Pritisnite.
2. Cifuentes, JF (2002). Uvod v teorijo verjetnosti. Državljan Kolumbije.
3. Daston, L. (1995). Klasična verjetnost v razsvetljenstvu. Princeton University Press.
4. Hopkins, B. (2009). Viri za poučevanje diskretne matematike: projekti v učilnicah, zgodovinski moduli in članki.
5. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskretna matematika. Pearsonova vzgoja.
6. Larson, HJ (1978). Uvod v teorijo verjetnosti in statistični sklep. Uredništvo Limusa.
7. Lutfiyya, LA (2012). Končni in diskretni matematični reševalec problemov. Uredniki raziskovalnega in izobraževalnega združenja.
8. Martel, PJ, in Vegas, FJ (1996). Verjetnost in matematična statistika: aplikacije v klinični praksi in zdravju. Izdaje Díaza de Santosa.
9. Padró, FC (2001). Diskretna matematika. Politèc. Katalonije.
10. Steiner, E. (2005). Matematika za uporabne vede. Povrni.