TESSELACIJE: ZNAČILNOST, VRSTE (NAVADNE, NEPRAVILNE), PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

V popločavanja so prevlečene površine ena ali več številk imenovane tesserae. So povsod: na ulicah in zgradbah vseh vrst. Ploščice ali ploščice so ploščati kosi, navadno poligoni s skladnimi ali izometričnimi kopijami, ki so postavljeni po običajnem vzorcu. Na ta način ne ostanejo nepokriti prostori in ploščice ali mozaiki se ne prekrivajo.

V primeru, da se uporablja ena vrsta mozaika, ki ga tvori navaden poligon, potem obstaja redna tessellacija, če pa sta uporabljeni dve ali več vrst pravilnih mnogokotnikov, je to polureven tessellation.

Slika 1. Ploščica tla z nepravilno tessellacijo, ker so pravokotniki nepravilni mnogokotniki, čeprav so kvadratki. Vir: Pixabay.

Nazadnje, ko poligoni, ki jih tvorijo tessella, niso pravilni, potem gre za nepravilno tessellacijo.

Najpogostejša vrsta tessellacije je tista, ki jo tvorijo pravokotni in zlasti kvadratni mozaiki. Na sliki 1 imamo dober primer.

Zgodovina tessellation

Tessellation se že tisoč let uporablja za pokrivanje tal in sten palač in templjev različnih kultur in religij.

Na primer, sumerska civilizacija, ki je cvetela okoli leta 3500 pred našim štetjem južno od Mezopotamije, med rekama Evfrat in Tigris, je v svoji arhitekturi uporabljala tessellacije.

Slika 2. Sumerske tessellation na Istar vrata. Vir: Wikimedia Commons.

Tesselacije so vzbudile zanimanje matematikov vseh starosti: začenši z Arhimedom v 3. stoletju pred našim štetjem, za njim pa Johannes Kepler leta 1619, Camille Jordan leta 1880, do sodobnega časa z Rogerjem Penroseom.

Penrose je ustvaril neperiodično tessellacijo, imenovano Penrose tessellation. To je le nekaj imen znanstvenikov, ki so veliko prispevali o tessellaciji.

Redna tesnila

Redne tessellacije so narejene samo z eno vrsto pravilnega mnogokotnika. Po drugi strani pa mora vsako točko ravnine tesnobo:

-Za notranjost poligona

-Ali do roba dveh sosednjih mnogokotnikov

-Na koncu lahko spada v skupno točko vsaj treh mnogokotnikov.

Z zgornjimi omejitvami lahko pokažemo, da lahko samo enakostranični trikotniki, kvadratki in šesterokotniki tvorijo navadno tessellacijo.

Nomenklatura

Obstaja nomenklatura za označevanje tessellacij, ki je sestavljena iz uvrščanja v smeri urinega kazalca in ločenega s točko, števila strani mnogokotnikov, ki obkrožajo vsako vozlišče (ali vrhove) tessellacije, ki se vedno začne s poligonom z najnižjim številom strani.

Ta nomenklatura velja za redne in pol redne tessellacije.

Primer 1: Trikotna tesnila

Na sliki 3 je prikazana pravilna trikotna tesnila. Treba je opozoriti, da je vsako vozlišče trikotne tessellacije skupno vrhovo šestih enakostraničnih trikotnikov.

Način označevanja te vrste tessellation je 3.3.3.3.3.3, kar je označeno tudi s 3 ⁶ .

Slika 3. Redna trikotna tesnalizacija 3.3.3.3.3.3. Vir: wikimedia commons

Primer 2: Kvadratna tesila

Slika 4 prikazuje navadno tessellacijo, sestavljeno samo iz kvadratov. Treba je opozoriti, da je vsako vozlišče v tessellaciji obdano s štirimi skladnimi kvadratki. Zaznamek, ki se uporablja za to vrsto kvadratne tessellacije, je: 4.4.4.4 ali pa 4 ⁴

Slika 4. Kvadratna tessellacija 4.4.4.4. Vir: wikimedia commons.

Primer 3: Šestkotna tesnila

V šesterokotni tessellaciji je vsako vozlišče obdano s tremi pravokotnimi šesterokotniki, kot je prikazano na sliki 5. Nomenklatura za navadno šesterokotno tessellacijo je 6.6.6 ali alternativno 6 ³ .

Slika 5. Šestkotna tesnila 6.6.6. Vir: wikimedia commons.

Polredne tesnila

Polurevni ali arhimedski tesselaciji sta sestavljeni iz dveh ali več vrst pravilnih mnogokotnikov. Vsako vozlišče je obdano z vrstami mnogokotnikov, ki sestavljajo tessellacijo, vedno v istem vrstnem redu, stanje roba pa je v celoti deljeno s sosedom.

Obstaja osem polrednih tessellacij:

1. 3.6.3.6 (tri-šestkotna tesnila)
2. 3.3.3.3.6 (tista šestkotna tesnila)
3. 3.3.3.4.4 (podolgovata trikotna tesnila)
4. 3.3.4.3.4 (tista kvadratna tesnila)
5. 3.4.6.4 (rombi-tri-šestkotna tesnila)
6. 4.8.8 (okrnjena kvadratna tesnila)
7. 3.12.12 (okrnjena šesterokotna tesnila)
8. 4.6.12 (okrnjena trikolesna tesnila)

Nekaj ​​primerov polrednih teskal je prikazano spodaj.

Primer 4: Tri-šestkotna tesnila

Je tista, ki jo sestavljajo enakostranični trikotniki in pravilni šesterokotniki v strukturi 3.6.3.6, kar pomeni, da je vozlišče tessellacije obdano (do zaključka enega obrata) s trikotnikom, šesterokotnikom, trikotnikom in šesterokotnikom. Slika 6 prikazuje tako tessellacijo.

Slika 6. Tri-šestkotna tesnalizacija (3.6.3.6) je primer polsmerne tessellacije. Vir: Wikimedia Commons.

Primer 5: Tupa šestkotna tesnila

Tako kot tessellacija v prejšnjem primeru tudi ta vključuje trikotnike in šesterokotnike, vendar je njihova porazdelitev okoli vozlišča 3.3.3.3.6. Slika 7 nazorno prikazuje tovrstno tessellacijo.

Slika 7. Tupo šestkotno tessellacijo sestavlja šesterokotnik, obdan s 16 trikotniki v konfiguraciji 3.3.3.3.6. Vir: Wikimedia Commons.

Primer 6: rombi-tri-šestkotna tesnila

Gre za tessellacijo, sestavljeno iz trikotnikov, kvadratov in šestkotnikov v konfiguraciji 3.4.6.4, ki je prikazana na sliki 8.

Slika 8. Polurevna tessellacija, sestavljena iz trikotnika, kvadrata in šesterokotnika v konfiguraciji 3.4.6.4. Vir: Wikimedia Commons.

Nepravilne tessellacije

Nepravilne tessellacije so tiste, ki jih tvorijo nepravilni mnogokotniki ali pravilni mnogokotniki, vendar ne izpolnjujejo merila, da je vozlišče točka vsaj treh mnogokotnikov.

Primer 7

Slika 9 prikazuje primer nepravilne tessellacije, pri kateri so vsi mnogokotniki pravilni in sorodni. Nepravilen je, ker vozlišče ni običajna točka vsaj treh kvadratov in obstajajo tudi sosednji kvadratki, ki ne delijo povsem roba.

Slika 9. Čeprav so vse ploščice skladne kvadratke, je to jasen primer nepravilne tessellacije. Vir: F. Zapata.

Primer 8

Paralelogram ploščice ravno površino, vendar če ni kvadrat, ne more tvoriti navadne tesne.

Slika 10. Tessellacija, ki jo tvorijo paralelogrami, je nepravilna, saj so mozaiki nepravilni mnogokotniki. Vir: F. Zapata.

Primer 9

Navadni šesterokotniki z osrednjo simetrijo tesirajo ravno površino, kot je prikazano na naslednji sliki:

Slika 11. Šestkotniki z osrednjo simetrijo, tudi če niso pravilni tessellat ravnine. Vir: F. Zapata.

Primer 10: tessellacija Kaira

Gre za zelo zanimivo tessellacijo, sestavljeno iz peterokotnikov s stranicami enake dolžine, vendar z neenakomernimi koti, od katerih sta dva ravna, drugi trije pa 120 °.

Njegovo ime izvira iz dejstva, da je ta tessellation najden na pločniku nekaterih ulic Kaira v Egiptu. Slika 12 prikazuje tessellacijo Kaira.

Slika 12. Kairo Tessellation. Vir: Wikimedia Commons.

Primer 11: testilacija Al-Andalusa

Za tessellacijo v nekaterih delih Andaluzije in Severne Afrike sta poleg okrasnih elementov, kot je vegetacija, značilna geometrija in epigrafija.

Tesselacija palač, kot je Alhambra, je bila sestavljena iz ploščic, sestavljenih iz keramičnih kosov različnih barv, z več (če ne že neskončno) oblikami, ki so se sprostile v geometrijskih vzorcih.

Slika 13. Tesselacija palače Alhambra. Tartaglia / Javna last

Primer 12: tessellation v video igrah

Znana tudi kot tesellation, je ena najbolj priljubljenih novosti v video igrah. Gre za ustvarjanje tekstur za simulacijo tessellacije različnih scenarijev, ki se pojavijo v simulatorju.

To je jasen odraz, da se ti premazi še naprej razvijajo, prestopajo meje resničnosti.

Reference

1. Uživajte v matematiki. Tesselacije. Pridobljeno od: uživanjetematicas.com
2. Rubiños. Primeri reševanja tesnob. Pridobljeno: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Dvokotna tesnila." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram raziskave.
4. Wikipedija. Tessellation. Pridobljeno: es.wikipedia.com
5. Wikipedija. Redna tesnila. Pridobljeno: es.wikipedia.com