Obstaja pravokotna matrica, ko omenjena matrica, pomnožena z njenim odzivom, povzroči matrico identitete. Če je inverza matrice enaka transponiranju, je izvirna matrica pravokotna.
Ortogonalne matrike imajo značilnost, da je število vrstic enako številu stolpcev. Poleg tega so vrsticni vektorji enotni pravokotni vektorji, prav tako pa so tudi transponirani vrstni vektorji.
Slika 1. Primer pravokotne matrice in kako transformira geometrijske predmete. (Pripravil Ricardo Pérez)
Ko se ortogonalna matrica pomnoži z vektorji vektorskega prostora, nastane izometrična transformacija, torej transformacija, ki ne spreminja razdalj in ohranja kote.
Tipičen predstavnik ortogonalnih matric so matrice vrtenja. Transformacije ortogonalnih matric v vektorskem prostoru imenujemo ortogonalne transformacije.
Geometrične transformacije vrtenja in odboja točk, predstavljenih z njihovimi kartezijanskimi vektorji, se izvajajo z uporabo ortogonalnih matric na originalnih vektorjih, da dobimo koordinate transformiranih vektorjev. Zaradi tega se pri obdelavi računalniške grafike široko uporabljajo pravokotne matrice.
Lastnosti
Matrika M je ortogonalna, če jo pomnožimo s TRANSPOSE P T daje kot rezultat identitete matriko I . Podobno ima produkt prenosa pravokotne matrice po izvirni matriki rezultat matrike identitete:
MM T = M T M = I
Kot posledica prejšnje trditve vidimo, da je prenos ortogonalne matrike enak njeni obratni matrici:
M T = M- 1 .
Niz ortogonalnih matric dimenzij nxn tvori pravokotno skupino O (n). In podmnožica O (n) pravokotnih matric z determinatorjem +1 tvori Skupino enotnih posebnih matric SU (n). Matrike skupine SU (n) so matrice, ki proizvajajo linearne transformacije vrtenja, znane tudi kot skupina rotacij.
Demonstracija
Pokazati želimo, da je matrica pravokotna, če in le, če so vektorji vrstic (ali vektorji stolpcev) pravokotni drug drugemu in norme 1.
Predpostavimo, da so vrstice pravokotne matrice nxn n ortonormalni vektorji dimenzije n. Če je označen z v 1 , v 2 ,…., V n do n vektorjev drži:
Kjer je razvidno, da je množica vrstnih vektorjev res pravokotni vektorji s normo ena.
Primeri
Primer 1
Pokažite, da ima matrica 2 x 2, ki ima v svoji prvi vrstici vektor v1 = (-1 0), v drugi vrstici pa je vektor v2 = (0 1) pravokotna matrica.
Rešitev: Matrika M je zgrajena in izračunana je njena transpozicijska M T :
V tem primeru je matrika M samostojna, torej matrika in njen prenos sta enaka. Pomnoži M s prenosnim M T :
Preverjeno je, da je MM T enak matriki identitete:
Ko matriko M pomnožimo s koordinatami vektorja ali točke, dobimo nove koordinate, ki ustrezajo transformaciji, ki jo matrica nanese na vektor ali točko.
Slika 1 prikazuje, kako M pretvori vektor u v u ' in tudi kako M modri mnogokotnik pretvori v rdeč poligon. Ker je M pravokoten, gre za pravokotno preobrazbo, ki ohranja razdalje in kote.
Primer 2
Predpostavimo, da imate matriko 2 x 2, določeno v reals, ki jo poda naslednji izraz:
Poiščite resnične vrednosti a, b, c in d, tako da je matrika M pravokotna matrica.
Rešitev: Po definiciji je matrica pravokotna, če dobimo matriko identitete. Če spomnimo, da je prenesena matrica iz izvorne izmenjave vrstic za stolpce, dobimo naslednjo enakost:
Izvajanje množenja matrice imamo:
Izenačimo elemente leve matrice z elementi matrike identitete na desni, dobimo sistem štirih enačb s štirimi neznanci a, b, c in d.
Za tri, geometrična razmerja sinus in kosinus predlagamo naslednje izraze za a, b, c in d:
S tem predlogom in zaradi temeljne trigonometrične identitete sta prva in tretja enačba samodejno izpolnjeni v enakosti matričnih elementov. Tretja in četrta enačba sta enaki in v matrični enakosti po zamenjavi predlaganih vrednosti izgleda takole:
kar vodi do naslednje rešitve:
Končno dobimo naslednje rešitve za pravokotno matrico M:
Upoštevajte, da ima prva raztopina determinant +1, zato spada v skupino SU (2), druga raztopina pa ima determinant -1 in zato ne spada v to skupino.
Primer 3
Glede na naslednjo matrico poiščite vrednosti a in b, tako da imamo pravokotno matrico.
Rešitev: Da je določena matrica pravokotna, mora biti izdelek s svojim prenosnikom matrika identitete. Nato se izvede matrični produkt dane matrike s preneseno matrico, ki daje naslednji rezultat:
Nato enačimo rezultat z matrico 3 x 3 identitete:
V drugi vrstici ima tretji stolpec (ab = 0), a ne more biti nič, ker sicer ne bi bila izpolnjena enakost elementov druge vrstice in drugega stolpca. Potem je nujno b = 0. Nadomestitev b za vrednost 0 imamo:
Nato je enačba rešena: 2a ^ 2 = 1, katere rešitve sta: + ½√2 in -½√2.
Če dobimo pozitivno rešitev za a, dobimo naslednjo pravokotno matrico:
Bralec lahko zlahka preveri, da so vrstni vektorji (in tudi vektorji stolpcev) pravokotni in enotni, torej pravokotni.
Primer 4
Pokažite, da je matrica A, katere vrsticni vektorji so v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) in v3 = (0 0 -1) , pravokotna matrica. Poleg tega najdemo, da se vektorji preoblikujejo iz kanonične osnove i, j, k v vektorje u1 , u2 in u3 .
Rešitev: Upoštevati je treba, da je element (i, j) matrice, pomnožen z njenim transponiranjem, pika na mestu vektorja vrstice (i) z stolpcem (j) prenosa. Poleg tega je ta izdelek enak delti Kroneckerja, če je matrica pravokotna:
V našem primeru je videti tako:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
S katero je razvidno, da gre za pravokotno matrico.
Nadalje je u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) in končno u3 = A k = (0, 0, -1)
Reference
- Anthony Nicolaides (1994) Determinanti in matrice. Pass Publikacija.
- Birkhoff in MacLane. (1980). Sodobna algebra, ur. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Uvod v linearno algebro. Uredništvo ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
- Jenny Olive (1998) Matematika: Vodnik za preživetje študentov. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matematika 30 sekund: 50 najbolj razširjenih teorij matematike. Ivy Press Limited.
- Wikipedija. Ortogonalna matrica. Pridobljeno: es.wikipedia.com
- Wikipedija. Ortogonalna matrica. Pridobljeno: en.wikipedia.com