EULERJEVA METODA: ZA KAJ GRE, POSTOPEK IN VAJE - MATEMATIKA - 2025

Postopek Eulerjeva je najbolj osnovna in enostavni postopki, ki se uporabljajo za iskanje numeričnem reševanju približnih za navadne diferencialne enačbe za prvega reda, pod pogojem, da se začetna stanje znano.

Navadna diferencialna enačba (ODE) je enačba, ki povezuje neznano funkcijo posamezne neodvisne spremenljivke z njenimi derivati.

Zaporedni približki po Eulerjevi metodi. Vir: Oleg Alexandrov

Če je največji izpeljanka, ki se pojavi v enačbi, prve stopnje, potem je to navadna diferencialna enačba prve stopnje.

Najbolj splošen način pisanja enačbe prve stopnje je:

x = x ₀

y = y ₀

Kaj je Eulerjeva metoda?

Ideja Eulerjeve metode je najti numerično rešitev diferencialne enačbe v intervalu med X ₀ in X _f .

Najprej je interval diskretiran v n + 1 točkah:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Ki jih dobimo takole:
x _i = x ₀ + ih

Kjer je širina ali korak podinvare:

Z začetnim pogojem je potem tudi na začetku mogoče izvedeti izpeljanko:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Ta izpeljanka predstavlja naklon tangenčne črte do krivulje funkcije y (x) natančno v točki:

Ao = (x _o , y _o )

Nato se na naslednji točki poda približno napoved vrednosti funkcije y (x):

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Nato smo dobili naslednjo približno točko rešitve, ki bi ustrezala:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Postopek se ponovi za pridobitev zaporednih točk

A ₂ , A ₃ …, x _n

Na sliki, prikazani na začetku, modra krivulja predstavlja natančno rešitev diferencialne enačbe, rdeča pa predstavlja zaporedne približne točke, pridobljene s postopkom Euler.

Rešene vaje

Vaja 1

I ) Naj bo diferencialna enačba:

Z začetnim pogojem x = a = 0; in _a = 1

Z Eulerjevo metodo dobimo približno rešitev y pri koordinati X = b = 0,5 in razdelimo interval na n = 5 delov.

Rešitev

Številčni rezultati so povzeti na naslednji način:

Iz tega sklepamo, da je rešitev Y za vrednost 0,5 1,4481.

Opomba: Za izvedbo izračunov je bil uporabljen brezplačni program Smath Studio za brezplačno uporabo.

Vaja 2

II ) Nadaljujte z diferencialno enačbo iz vaje I) poiščite natančno rešitev in jo primerjajte z rezultatom, pridobljenim po Eulerjevi metodi. Poiščite napako ali razliko med natančnim in približnim rezultatom.

Rešitev

Natančne rešitve ni težko najti. Izvedba funkcije sin (x) je znana kot funkcija cos (x). Zato bo rešitev y (x):

y (x) = sin x + C

Za izpolnitev začetnega pogoja in (0) = 1 mora biti konstanta C enaka 1. Točen rezultat se nato primerja s približnim:

Sklepano je, da ima v izračunanem intervalu približek tri pomembne številke natančnosti.

Vaja 3

III ) Razmislite o diferencialni enačbi in njenih začetnih pogojih, podanih spodaj:

y '(x) = - y ²

Z začetnim pogojem x ₀ = 0; in ₀ = 1

Z Eulerjevo metodo poiščite približne vrednosti raztopine y (x) na intervalu x =. Uporabite korak h = 0,1.

Rešitev

Eulerjeva metoda je zelo primerna za uporabo s preglednico. V tem primeru bomo uporabili preglednico geogebra, brezplačni in odprtokodni program.

Preglednica na sliki prikazuje tri stolpce (A, B, C), prvi je spremenljivka x, drugi stolpec predstavlja spremenljivko y, tretji stolpec pa izpeljanko y '.

Vrstica 2 vsebuje začetne vrednosti X, Y, Y '.

Vrednostni korak 0,1 je postavljen v celico absolutne pozicije ($ D $ 4).

Začetna vrednost y0 je v celici B2, y1 pa v celici B3. Za izračun y ₁ se uporablja formula:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Ta formula preglednice bi bila Število B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Podobno bi bilo y2 v celici B4, njegova formula pa je prikazana na naslednji sliki:

Slika prikazuje tudi graf natančne rešitve in točke A, B, …, P približne rešitve po Eulerjevi metodi.

Newtonova dinamika in Eulerjeva metoda

Klasično dinamiko je razvil Isaac Newton (1643 - 1727). Prvotna motivacija Leonarda Eulerja (1707 - 1783) za razvoj njegove metode je bila ravno v reševanju enačbe Newtonovega zakona v različnih fizičnih situacijah.

Newtonov drugi zakon se ponavadi izrazi kot diferencialna enačba druge stopnje:

Kjer x predstavlja položaj predmeta v času t. Omenjeni predmet ima maso m in je podvržen sili F. Funkcija f je povezana s silo in maso, kot sledi:

Za uporabo Eulerjeve metode so potrebne začetne vrednosti časa t, hitrosti v in položaja x.

Naslednja tabela razlaga, kako lahko izhodiščne vrednosti t1, v1, x1 dobimo približek hitrosti v2 in položaja x2 v trenutku t2 = t1 + Δt, kjer Δt predstavlja majhno povečanje in ustreza koraku v metodi Euler.

Vaja 4

IV ) Eden temeljnih problemov mehanike je blok mase M, vezan na vzmet (ali vzmet) elastične konstante K.

Newtonov drugi zakon za to težavo bi bil videti takole:

V tem primeru bomo zaradi preprostosti vzeli M = 1 in K = 1. Poiščite približne rešitve položaja x in hitrosti v po Eulerjevi metodi na časovni interval tako, da interval razdelite na 12 delov.

Vzemite 0 kot začetni trenutek, začetno hitrost 0 in začetni položaj 1.

Rešitev

Številčni rezultati so prikazani v naslednji tabeli:

Prikazani so tudi grafi grafe lege in hitrosti med časoma 0 in 1,44.

Predlagane vaje za dom

Vaja 1

S pomočjo preglednice določite približno rešitev z Eulerjevo metodo za diferencialno enačbo:

y '= - Exp (-y) z začetnimi pogoji x = 0, y = -1 v intervalu x =

Začnite s korakom 0,1. Izpišite rezultat.

Vaja 2

S pomočjo preglednice poiščite številčne rešitve naslednje kvadratne enačbe, kjer je y funkcija neodvisne spremenljivke t.

y '' = - 1 / y² z začetnim pogojem t = 0; in (0) = 0,5; y '(0) = 0

Poiščite rešitev v intervalu s korakom 0,05.

Rezultat narišite: y vs t; y 'proti t

Reference

1. Eurlerjeva metoda Vzeta s wikipedia.org
2. Euler solver. Vzeto s spletnega mesta en.smath.com