MORGAN ZAKONI - MATEMATIKA - 2025

L oči Morgan so pravila sklepanja, ki se uporabljajo v propozicijske logike, ki določajo, kaj je rezultat odklonitvijo disjunkcije in konjunkcijo z stavkov ali stavčni spremenljivk. Te zakone je opredelil matematik Augustus De Morgan.

Morganovi zakoni predstavljajo zelo koristno orodje za dokazovanje veljavnosti matematičnih sklepov. Kasneje so jih v koncept sklopov posplošili matematik George Boole.

Ta posplošitev, ki jo je naredil Boole, je popolnoma enakovredna prvotnim Morganovim zakonom, vendar je razvita posebej za množice in ne za predloge. Ta posplošitev je znana tudi kot Morganovi zakoni.

Pregled logike predloga

Preden pogledamo, kaj konkretno predstavljajo Morganovi zakoni in kako se uporabljajo, je koristno, da se spomnimo nekaterih osnovnih pojmov logike predloga. (Za več podrobnosti glej članek o logiki predloga).

V sferi matematične (ali propozicijske) logike je sklepanje sklep, ki je izdan iz nabora premis ali hipotez. Ta sklep skupaj z zgoraj omenjenimi premisleki povzroča tako imenovano matematično sklepanje.

Takšno sklepanje mora biti dokazljivo ali zanikano; torej niso vsi sklepi ali sklepi v matematičnem sklepanju veljavni.

Napačnost

Lažno sklepanje iz nekaterih hipotez, za katere se domneva, da so resnične, je znano kot zmotnost. Zmoti imajo posebnost, da so argumenti, ki se zdijo pravilni, matematično pa niso.

Propozicijska logika je natančno odgovorna za razvoj in zagotavljanje metod, s pomočjo katerih je mogoče matematično sklepanje brez dvoumnosti potrditi ali zavrniti; torej sklepati na veljavno ugotovitev iz premis. Te metode so znane kot pravila sklepanja, katerih del so Morganovi zakoni.

Predlogi

Bistveni elementi logike predloga so propozicije. Predlogi so izjave, za katere lahko rečemo, da so veljavne ali ne, hkrati pa ne morejo biti resnične ali napačne. V tej zadevi ne bi smelo biti dvoumnosti.

Tako kot se številke lahko kombinirajo z operacijami seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, lahko tudi s predlogi upravljamo z dobro znanimi logičnimi vezmi (ali vezniki): negacija (¬, "ne"), disjunkcija (V , "Ali"), pogojne (Ʌ, "in"), pogojne (→, "če …, potem …") in dvoumne (↔, "če in samo če").

Če želimo delovati bolj splošno, namesto da bi obravnavali posebne predloge, se upoštevajo predloge spremenljivk, ki predstavljajo kakršne koli propozicije, in jih ponavadi označujemo z malimi črkami p, q, r, s itd.

Propozicijska formula je kombinacija predlogskih spremenljivk s pomočjo nekaterih logičnih povezav. Z drugimi besedami, to je sestava predlaganih spremenljivk. Običajno jih označujemo z grškimi črkami.

Rečeno je, da formula predloga logično pomeni drugo, ko je slednja resnična vsakič, ko je prva resnična. To je označeno z:

Kadar je logična implikacija med dvema propozicijskima formulama vzajemna - torej ko je prejšnja implikacija veljavna tudi v nasprotnem pomenu -, naj bi bile formule logično enakovredne in jih označujemo z

Logična enakovrednost je nekakšna enakost med formulami predloga in omogoča, da eno zamenjamo z drugo, kadar je to potrebno.

Morganovi zakoni

Morganovi zakoni sestavljajo dve logični enakovrednosti med dvema predlogoma, in sicer:

Ti zakoni omogočajo ločitev negacije disjunkcije ali veznika kot negacije vpletenih spremenljivk.

Prvo je mogoče prebrati na naslednji način: negacija disjunkcije je enaka konjunkciji negacij. In drugo se glasi tako: negacija veznika je ločitev negacij.

Z drugimi besedami, zanikanje ločitve dveh predlaganih spremenljivk je enakovredno vezju negacij obeh spremenljivk. Prav tako je zanikanje vezanja dveh propozicijskih spremenljivk enakovredno ločitvi negacij obeh spremenljivk.

Kot smo že omenili, zamenjava te logične enakovrednosti pomaga dokazati pomembne rezultate, skupaj z drugimi obstoječimi pravili sklepanja. S temi lahko poenostavite številne formule predloga, tako da bodo bolj koristne za delo.

V nadaljevanju je primer matematičnega dokaza z uporabo sklepnih pravil, vključno z Morganovim zakonom. Konkretno je prikazano, da formula:

Enakovreden je:

Slednje je preprosteje razumeti in razvijati.

Demonstracija

Velja omeniti, da se veljavnost Morganovih zakonov lahko dokaže matematično. Eden od načinov je primerjava tabel resnic.

Kompleti

Enaka pravila sklepanja in logični pojmi, ki se uporabljajo za predloge, se lahko razvijejo tudi ob upoštevanju nizov. To je tisto, kar je po matematiku Georgeu Booleu znano kot Boolova algebra.

Za razlikovanje primerov je potrebno spremeniti notacijo in prenesti v množice, vse že vidne pojme propozicijske logike.

Nabor je zbirka predmetov. Nabori so označeni z velikimi črkami A, B, C, X, …, elementi niza pa so označeni z malimi črkami a, b, c, x itd. Kadar element a pripada množici X, ga označimo z:

Kadar ne spada v X, je zapis:

Način predstavljanja kompletov je tako, da njihove elemente postavite znotraj naramnic. Nabor naravnih števil je na primer predstavljen z:

Nabori so lahko zastopani tudi brez pisanja izrecnega seznama njihovih elementov. Lahko jih izrazimo v obliki {:}. Debelo črevo se bere "tako, da". Levo od obeh točk je postavljena spremenljivka, ki predstavlja elemente niza, na desni strani pa je postavljena lastnost ali stanje, ki ju izpolnjujeta. To je:

Na primer, nabor celih števil večjih od -4 lahko izrazimo kot:

Ali enakovredno in krajše kot:

Podobno naslednji izrazi predstavljajo niza neparnih in neštetih števil:

Zveza, križišče in kompleti sklopov

Nato bomo videli analogne logične vezi v primeru nizov, ki so del osnovnih operacij med množicami.

Zveza in križišče

Zveza in presečišče nizov sta opredeljena na naslednji način:

Na primer, upoštevajte nabore:

Torej, morate:

Dopolnilo

Komplement kompleta tvorijo elementi, ki ne pripadajo omenjenemu nizu (iste vrste, kot jo predstavlja izvirnik). Dopolnilo niza A je označeno z:

Na primer, v naravnih številih je dopolnilo nabora parnih števil enako lih in obratno.

Za določitev komplementa niza mora biti univerzalni ali glavni sklop elementov, ki se obravnavajo, jasen od začetka. Na primer, ni enako obravnavati dopolnitve niza nad naravnimi števili kot nad racionalnimi števili.

Naslednja tabela prikazuje razmerje ali analogijo med operacijami na predhodno definiranih nizih in povezavami logike predloga:

Morganovi zakoni za komplete

Na koncu so Morganovi zakoni o skupinah:

Z besedami: dopolnitev zveze je presečišče komplementov, dopolnitev preseka pa je zveza dopolnil.

Matematični dokaz prve enakosti bi bil naslednji:

Dokaz drugega je analogen.

Reference

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Uredništvo Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logika, nabori in številke. Mérida - Venezuela: Svet za publikacije, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod v teorijo števil. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj števil. Severna univerza.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kako razviti matematično logično sklepanje. Univerzitetna založba.
6. Guevara, MH (drugo). Teorija števil. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Teorija števil Uredniška vizija Libros.