STALNA FUNKCIJA: ZNAČILNOSTI, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2025

Funkcija konstanta je tista, v kateri je vrednost y konstantna. Z drugimi besedami: konstantna funkcija ima vedno obliko f (x) = k, kjer je k resnično število.

Pri graficiranju konstantne funkcije v koordinatnem sistemu xy vedno nastane ravna črta, vzporedna z vodoravno ali x-osjo.

Slika 1. Graf več konstantnih funkcij na kartezijanski ravnini. Vir: Wikimedia Commons. Uporabnik: HiTe

Ta funkcija je poseben primer afine funkcije, katere graf je tudi ravna črta, vendar z naklonom. Stalna funkcija ima ničelni naklon, torej je vodoravna črta, kot je razvidno na sliki 1.

Tam je prikazan graf treh konstantnih funkcij:

Vse so črte, vzporedne z vodoravno osjo, prva je pod omenjeno osjo, druga pa zgoraj.

Značilnosti stalne funkcije

Glavne značilnosti stalne funkcije lahko povzamemo na naslednji način:

-Na grafu je vodoravna ravna črta.

-Ima edinstveno presečišče z osjo y, ki je vredno k.

- Nenehno.

-V domena konstantne funkcije (niz vrednosti, ki jih lahko x) je množica realnih števil R .

-Potek, obseg ali nasprotna domena (niz vrednosti, ki jih spreminja y spremenljivka), je preprosto konstanta k.

Primeri

Funkcije so potrebne za vzpostavitev povezav med količinami, ki so na nek način odvisne druga od druge. Razmerje med njimi je mogoče matematično modelirati in tako ugotoviti, kako se eden od njih obnaša, ko se drugi spreminja.

To pomaga sestaviti modele za številne situacije in predvidevati njihovo vedenje in razvoj.

Kljub navidezni preprostosti ima stalna funkcija veliko aplikacij. Na primer, ko gre za preučevanje količin, ki ostanejo konstantne skozi čas ali vsaj za opazen čas.

Na ta način se veličine obnašajo v naslednjih situacijah:

- Križarljiva hitrost avtomobila, ki se vozi po dolgi ravni avtocesti. Dokler ne zavirate ali pospešite, ima avto enakomerno pravokotno gibanje.

Slika 2. Če avtomobil ne zavira ali pospešuje, ima enakomerno pravokotno gibanje. Vir: Pixabay.

-Popolno napolnjen kondenzator, ki ni povezan s tokokrogom, ima s časom konstantno polnjenje.

-Naposled parkirišče s fiksno ceno ohranja konstantno ceno, ne glede na to, koliko časa je tam parkiran avtomobil.

Drug način predstavljanja stalne funkcije

Stalno funkcijo lahko alternativno predstavimo na naslednji način:

Ker vsaka vrednost x, dvignjena na 0, posledično pomeni 1, se prejšnji izraz zmanjša na že znani:

Seveda se to zgodi, dokler je vrednost k drugačna od 0.

Zato konstantno funkcijo uvrščamo tudi med polinomsko funkcijo stopnje 0, saj je eksponent spremenljivke x 0.

Rešene vaje

- Vaja 1

Odgovorite na naslednja vprašanja:

a) Ali je mogoče ugotoviti, da je premica, ki jo daje x = 4, stalna funkcija? Navedite razloge za svoj odgovor.

b) Ali ima lahko konstantna funkcija x-prestrezanje?

c) Ali je funkcija f (x) = w ² konstantna ?

Odgovor na

Tukaj je graf vrstice x = 4:

Slika 3. Graf premice x = 4. Vir: F. Zapata.

Vrstica x = 4 ni funkcija; funkcija je po definiciji tak odnos, da vsaka vrednost spremenljivke x ustreza posamezni vrednosti y. In v tem primeru to ne drži, saj je vrednost x = 4 povezana z neskončnimi vrednostmi y. Zato je odgovor ne.

Odgovor b

Na splošno konstantna funkcija nima prestrezanja x, razen če je y = 0, v tem primeru pa je sama x x.

Odgovor c

Da, ker je w konstanten, je tudi njegov kvadrat konstanten. Pomembno je, da w ni odvisen od vhodne spremenljivke x.

- Vaja 2

Poiščite presečišče med funkcijami f (x) = 5 in g (x) = 5x - 2

Rešitev

Če želite najti presečišče teh dveh funkcij, jih lahko zapišemo kot:

Izenačijo se tako, da dobijo:

Kaj je linearna enačba prve stopnje, katere rešitev je:

Točka presečišča je (7 / 5,5).

- Vaja 3

Pokažite, da je izpeljanka konstantne funkcije 0.

Rešitev

Iz definicije izpeljanke imamo:

Nadomestitev v definiciji:

Poleg tega, če pomislimo na izpeljanko kot hitrost spremembe dy / dx, konstantna funkcija ne spremeni nobene spremembe, zato je njen derivat enak nič.

- Vaja 4

Poiščite nedoločen integral f (x) = k.

Rešitev

Slika 4. Graf funkcije v (t) za mobilnik vaje 6. Vir: F. Zapata.

Vpraša:

a) Napišite izraz za funkcijo hitrosti kot funkcijo časa v (t).

b) Poiščite razdaljo, ki jo je mobilni telefon prehodil v časovnem intervalu od 0 do 9 sekund.

Rešitev za

Prikazani graf kaže, da:

- v = 2 m / s v časovnem intervalu med 0 in 3 sekundami

-Mobilica se ustavi med 3 in 5 sekundami, saj je v tem intervalu hitrost 0.

- v = - 3 m / s med 5 in 9 sekundami.

Je primer delne funkcije ali koščkovne funkcije, ki je sestavljena iz konstantnih funkcij, ki veljajo samo za navedene časovne intervale. Ugotovimo, da je želena funkcija:

Rešitev b

Iz v (t) grafa je mogoče izračunati razdaljo, ki jo je premikal mobilni telefon, ki je numerično enakovredna površini pod / na krivulji. V to smer:

-Razdaljenost od 0 do 3 sekunde = 2 m / s. 3 s = 6 m

- Med 3 in 5 sekundami so ga pridržali, zato ni prepotoval nobene razdalje.

-Razdalja med 5 in 9 sekundami = 3 m / s. 4 s = 12 m

Skupno je mobilni prevozil 18 m. Čeprav je hitrost v intervalu med 5 in 9 sekund negativna, je prevožena razdalja pozitivna. Zgodilo se je, da je v tem časovnem intervalu mobilni spremenil občutek svoje hitrosti.

Reference

1. Geogebra. Stalne funkcije. Pridobljeno: geogebra.org.
2. Maplesoft. Stalna funkcija. Pridobljeno: maplesoft.com.
3. Wikibooks. Izračun v spremenljivki / Funkcije / Stalna funkcija. Pridobljeno: es.wikibooks.org.
4. Wikipedija. Stalna funkcija. Pridobljeno: en.wikipedia.org
5. Wikipedija. Stalna funkcija. Pridobljeno: es.wikipedia.org.