NESKONČEN NIZ: LASTNOSTI, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Za neskončno množico se šteje tista množica, v kateri število njegovih elementov ni mogoče šteti. Se pravi, ne glede na to, kako veliko je lahko število njegovih elementov, je vedno mogoče najti več.

Najpogostejši primer je neskončna množica naravnih števil N . Ni važno, kako veliko je število, saj lahko vedno dobite večjega v postopku, ki nima konca:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Slika 1. Simbol neskončnosti. (pixabay)

Nabor zvezd v vesolju je zagotovo neizmeren, vendar zagotovo ni znano, ali je končno ali neskončno. V nasprotju s številom planetov v osončju, ki je znan kot končni niz.

Lastnosti neskončnega niza

Med lastnostmi neskončnih množic lahko izpostavimo naslednje:

1- Združitev dveh neskončnih sklopov povzroči novo neskončno množico.

2- Združitev končnega niza z neskončnim povzroči nov neskončni niz.

3- Če je podvrsto določenega niza neskončno, je originalni niz tudi neskončen. Vzajemna izjava ne drži.

Ne najdete naravnega števila, ki bi lahko izrazilo kardinalnost ali število elementov neskončnega nabora. Vendar je nemški matematik Georg Cantor predstavil koncept nedoločenega števila, ki se nanaša na neskončno zaporedje, večje od katerega koli naravnega števila.

Primeri

Naravni N

Najpogostejši primer neskončnega niza je naravna številka. Naravna števila so tista, ki jih uporabljamo za štetje, vendar se celo število, ki lahko obstaja, ne šteje.

Nabor naravnih števil ne vključuje nič in je običajno označen kot množica N , ki je v obsežni obliki izražena na naslednji način:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} In je očitno neskončna množica.

Elipsa se uporablja za označevanje, da za eno številko sledi druga in nato druga v neskončnem ali neskončnem postopku.

Niz naravnih števil, združenih z nizom, ki vsebuje število nič (0), je znan kot množica N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….}, Kar je rezultat združitve neskončnega niza N s končnim nizom O = {0}, kar ima za posledico neskončno množico N + .

Cela števila Z

Nabor celih števil Z je sestavljen iz naravnih števil, naravnih števil z negativnim predznakom in ničlo.

Cela števila Z veljajo za evolucijo glede na naravna števila N, ki so bila prvotno in primitivno uporabljena v postopku štetja.

V številskem nizu Z celih števil je všteto nič, da nič ne štejemo ali štejemo, negativna števila pa za štetje črpanja, izgube ali pomanjkanja česa.

Za ponazoritev ideje predpostavimo, da se na bančnem računu pojavi negativno stanje. To pomeni, da je račun pod ničlo in ni samo to, da je račun prazen, ampak da ima manjkajočo ali negativno razliko, ki jo je treba nekako nadomestiti z banko.

V obsežni obliki je neskončni niz Z celih števil zapisan tako:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Racionalisti Q

V razvoju procesa štetja in izmenjave stvari, blaga ali storitev se pojavijo delna ali racionalna števila.

Na primer, pri menjavi polovice štruce z dvema jabolkama je ob snemanju transakcije nekdo prišel na vrsto, da bi polovico napisala kot eno, razdeljeno ali razdeljeno na dva dela: ½. Toda polovica polovice kruha bi bila zapisana v knjige, kot sledi: ½ / ½ = ¼.

Jasno je, da je ta postopek delitve v teoriji lahko neskončen, čeprav je v praksi do zadnjega delca kruha.

Nabor racionalnih (ali delnih) številk označimo na naslednji način:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Elipsa med dvema celima števkama pomeni, da sta med tema dvema števkama ali vrednostma neskončne particije ali delitve. Zato naj bi bil nabor racionalnih števil neskončno gost. To je zato, ker ne glede na to, kako blizu sta si dve racionalni številki, je mogoče najti neskončne vrednosti.

Za ponazoritev zgornjega predpostavimo, da od nas zahtevamo, da najdemo racionalno število med 2 in 3. To število je lahko 2⅓, kar je znano kot mešano število, sestavljeno iz 2 celih delov plus tretjine enote, kar je enakovredno pisanju 4/3.

Med 2 in 2⅓ je mogoče najti drugo vrednost, na primer 2⅙. In med 2 in 2⅙ je mogoče najti drugo vrednost, na primer 2⅛. Med tema dvema in med njima še en, še en in drug.

Slika 2. Neskončne delitve v racionalnih številkah. (wikimedia commons)

Iracionalne številke I

Obstajajo številke, ki jih ni mogoče zapisati kot delitev ali ulomek dveh celih števil. Prav ta številčni niz je znan kot množica Iracionalnih števil in je tudi neskončen niz.

Nekateri pomembni elementi ali predstavniki tega številčnega niza so številka pi (π), Eulerjevo število (e), zlato razmerje ali zlato število (φ). Te številke lahko zapišemo le z racionalnim številom:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (in se nadaljuje v neskončnost in naprej…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (in se nadaljuje onkraj neskončnosti…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (do neskončnosti… .. in dlje… ..)

Ko se poskušajo najti rešitve zelo preprostih enačb, se pojavijo druga neracionalna števila, na primer enačba X ^ 2 = 2 nima natančno racionalne rešitve. Natančna rešitev je izražena z naslednjo simbologijo: X = √2, ki jo beremo x, ki je enaka korenu dveh. Približni racionalen (ali decimalni) izraz za √2 je:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Obstaja nešteto iracionalnih števil, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖), če jih naštejemo le nekaj.

Nabor reals R

Realne številke so številke, ki se najpogosteje uporabljajo v matematičnem računanju, fiziki in tehniki. Ta množica je združitev racionalnih števil Q in iracionalnih števil I :

R = Q U I

Neskončnost je večja od neskončnosti

Med neskončnimi množicami so nekatere večje od drugih. Na primer, množica naravnih števil N je neskončna, vendar je podmnožica celih števil Z , ki je neskončna, tako neskončno set Z je večja od neskončne množice N .

Podobno je množica celih števil Z je podmnožica realnih števil R , zato je komplet R je "neskončnost" neskončen niz Z .

Reference

1. Celeberrima. Primeri neskončnih množic. Pridobljeno: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MAT. Uvod v izračun. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne enačbe: kako rešiti kvadratno enačbo. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, Paul, RS (2003). Matematika za management in ekonomijo. Pearsonova vzgoja.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
6. Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Uredništvo Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Tako enostavno. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra in trigonometrija. Pearsonova vzgoja.
9. Wikipedija. Neskončen niz. Pridobljeno: es.wikipedia.com