VARIGNONOV IZREK: PRIMERI IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2025

Izrek Varignonov določa, da če je katera štirikotnik nenehno povezani midpoints straneh, je paralelogram ustvari. Ta izrek je oblikoval Pierre Varignon in objavil leta 1731 v knjigi Elementi matematike. "

Izid knjige se je zgodil leta po njegovi smrti. Ker je ta teorem predstavil Varignon, je paralelogram poimenovan po njem. Teorem temelji na Evklidovi geometriji in prikazuje geometrijska razmerja štirikotnikov.

Kaj je Varignonov izrek?

Varignon je izjavil, da bo številka, ki je definirana s sredinami štirikotnika, vedno povzročila paralelogram, površina paralelograma pa bo vedno polovica površine štirikotnika, če je ravna in konveksna. Na primer:

Na sliki lahko vidite štirikotnik s površino X, kjer so sredine točke strani predstavljene z E, F, G in H in, ko so združene, tvorijo paralelogram. Površina štirikotnika bo vsota površin trikotnikov, ki se tvorijo, polovica tega pa ustreza površini paralelograma.

Ker je območje paralelograma polovica površine štirikotnika, je mogoče določiti obod tega paralelograma.

Tako je obod enak vsoti dolžin diagonale štirikotnika; to je zato, ker bodo mediane štirikotnika diagonale paralelograma.

Po drugi strani pa, če so dolžine diagonal štirikotnika popolnoma enake, bo paralelogram romba. Na primer:

Iz slike je razvidno, da se s spajanjem na sredini točk štirikotnika dobi romb. Po drugi strani pa, če so diagonale štirikotnika pravokotne, bo paralelogram pravokotnik.

Tudi paralelogram bo kvadrat, ko ima štirikotnik diagonale z enako dolžino in so tudi pravokotne.

Izrek ni izpolnjen le v ravninskih štirikotnikih, ampak se izvaja tudi v prostorski geometriji ali velikih dimenzijah; torej v tistih štirikotnikih, ki niso konveksni. Primer tega je lahko oktaedar, kjer so vmesne točke centroidi vsakega obraza in tvorijo paralelepiped.

Na ta način lahko z združevanjem vmesnih točk različnih figur dobimo vzporednice. Če to res drži, lahko preverimo, da morata biti nasprotni strani, ko sta podaljšani, vzporedni.

Primeri

Prvi primer

Razširitev nasprotnih strani, da se pokaže, da gre za paralelogram:

Drugi primer

Z združitvijo srednjih točk romba dobimo pravokotnik:

Teorem se uporablja v združitvi točk, ki se nahajajo na sredini strani štirikotnika, uporablja pa se lahko tudi za druge vrste točk, kot so trisekcija, pentasek ali celo neskončno število odsekov ( nth), da se strani katerega koli štirikotnika razdelijo na sorazmerne segmente.

Rešene vaje

Vaja 1

Na sliki imamo štirikotnik ABCD območja Z, kjer so sredine teh strani PQSR. Preverite, ali je oblikovan paralelogram Varignona.

Rešitev

Vidimo, da združevanje točk PQSR tvori Varignonov paralelogram, ravno zato, ker so v stavku podane sredine točke štirikotnika.

Da bi to dokazali, se najprej pridružijo srednji točki PQSR, tako da je mogoče videti, da je oblikovan še en štirikotnik. Če želite dokazati, da gre za paralelogram, morate od točke C do točke A narisati ravno črto, tako da je mogoče videti, da je CA vzporedna s PQ in RS.

Na enak način lahko pri podaljševanju strani PQRS vidimo, da sta PQ in RS vzporedni, kot je prikazano na naslednji sliki:

Vaja 2

Pravokotnik imamo tako, da so dolžine vseh njegovih strani enake. Z združitvijo sredin teh strani se oblikuje romb ABCD, ki je razdeljen z dvema diagonalama AC = 7cm in BD = 10cm, ki sovpadata z meritvami strani pravokotnika. Določite območja romba in pravokotnika.

Rešitev

Če se spomnimo, da je območje nastalega paralelograma polovica štirikotnika, lahko določimo območje le-teh, če se merilo diagonale ujema s stranicami pravokotnika. Torej morate:

AB = D

CD = d

_Pravokotnik = (AB _* CD) = (10cm _* 7 cm) = 70cm ²

_Romb = A _pravokotnik / 2

_Romb = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Vaja 3

Na sliki je štirikotnik, ki ima združitev točk EFGH, podane so dolžine odsekov. Ugotovite, ali je zveza EFGH paralelogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Rešitev

Ker so podane dolžine segmentov, je mogoče preveriti, ali je sorazmernost med segmenti; to pomeni, da lahko veste, ali so vzporedni in povezujejo odseke štirikotnika na naslednji način:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Nato se preveri sorazmernost, saj:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Podobno lahko pri risanju črte od točke B do točke D vidimo, da je EH vzporeden z BD, tako kot je BD vzporeden s FG. Po drugi strani je EF vzporeden z GH.

Tako lahko ugotovimo, da je EFGH paralelogram, ker sta nasprotni strani vzporedni.

Reference

1. Andres, T. (2010). Matematična olimpijada Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Ravna evklidska geometrija. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Študij geometrije. Mehika: latinoameriška.
4. Ramo, GP (1998). Neznane rešitve težav Fermat-Torricelli. ISBN - Samostojno delo.
5. Vera, F. (1943). Elementi geometrije. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Nekaj ​​dogodivščin v evklidski geometriji. Južna Afrika.