- Pomembni izdelki in primeri
- Binomski kvadrat
- Izdelek konjugiranih binomov
- Izdelek dveh binomov s skupnim izrazom
- Polinom kvadrata
- Binomna kocka
- Kocka trinoma
- Rešene vaje pomembnih izdelkov
- Vaja 1
- Rešitev
- Vaja 2
- Rešitev
- Reference
Za izjemne izdelki so algebrskih operacije, v kateri so izražene množenja polinomov, ki ne potrebujejo, da je treba rešiti tradicionalno, ampak s pomočjo nekaterih pravil so rezultati enaki.
Polinomi se pomnožijo z da, zato je možno, da imajo veliko število izrazov in spremenljivk. Za krajši postopek se uporabljajo pomembna pravila o izdelku, ki omogočajo množenje, ne da bi morali iti po izrazu.
Pomembni izdelki in primeri
Vsak pomemben izdelek je formula, ki izhaja iz faktorizacije, sestavljene iz polinomov več pojmov, kot so binomi ali trinomi, imenovani faktorji.
Dejavniki so osnova moči in imajo eksponent. Ko se faktorji množijo, je treba dodati faktorje.
Obstaja več izjemnih formul izdelkov, nekatere se uporabljajo bolj kot druge, odvisno od polinomov, in so naslednje:
Binomski kvadrat
Gre za množenje binoma po sebi, izraženo kot moč, pri čemer se izrazi seštevajo ali odštevajo:
do. Kvadratna vsota binom: je enaka kvadratu prvega pojma, plus dvakratnemu zmnožku izrazov, povečani s kvadratom drugega pojma. Izrazi se na naslednji način:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Na naslednji sliki si lahko ogledate, kako se izdelek razvija po zgoraj omenjenem pravilu. Rezultat se imenuje trinomal popolnega kvadrata.
Primer 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Primer 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binoma odštevanja kvadrata: velja isto pravilo binoma vsote, le v tem primeru je drugi izraz negativen. Njegova formula je naslednja:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Primer 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Izdelek konjugiranih binomov
Dva binoma sta konjugirana, kadar imata vsaka drugačna znaka, torej prvi je pozitiven, drugi pa negativen ali obratno. Rešimo ga tako, da odštejemo vsak monom in odštejemo. Njegova formula je naslednja:
(a + b) * (a - b)
Na naslednji sliki je razvit produkt dveh konjugiranih binomov, kjer opazimo, da je rezultat razlika kvadratov.
Primer 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Izdelek dveh binomov s skupnim izrazom
Je eden najbolj zapletenih in redko uporabljenih pomembnih izdelkov, saj gre za množenje dveh binomov, ki imata skupni izraz. Pravilo navaja naslednje:
- Kvadrat skupnega izraza.
- Poleg tega seštejte izraze, ki niso pogosti, in jih nato pomnožite s skupnim izrazom.
- Plus seštevek množenja izrazov, ki niso pogosti.
Predstavljen je v formuli: (x + a) * (x + b) in je razvit, kot je prikazano na sliki. Rezultat je nepopoln kvadratni trinom.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Obstaja možnost, da je drugi izraz (različni izraz) negativen in njegova formula je naslednja: (x + a) * (x - b).
Primer 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Prav tako se lahko zgodi, da sta oba različna izraza negativna. Njegova formula bo: (x - a) * (x - b).
Primer 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polinom kvadrata
V tem primeru obstajata več kot dva pojma in razviti ga je vsak kvadrat in sešteva skupaj z dvakratnim pomnoževanjem enega pojma z drugim; njegova formula je: (a + b + c) 2, rezultat operacije pa je trinomal kvadrata.
Primer 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomna kocka
Je izjemno kompleksen izdelek. Da bi ga razvili, se binom pomnoži z njegovim kvadratom, kot sledi:
do. Za binomne kocke vsote:
- Kocka prvega izraza, povečana s trikratnico kvadrata prvega pojma, krajša od drugega.
- Plus trojica prvega mandata, krat drugi kvadrat.
- Plus kocka drugega mandata.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Primer 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Za binomne kocke odštevanja:
- Kocka prvega pojma, minus trikratnik kvadrata prvega pojma, je krajša od drugega.
- Plus trojica prvega mandata, krat drugi kvadrat.
- Minus kocke drugega mandata.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Primer 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Kocka trinoma
Razvijemo ga tako, da ga pomnožimo s kvadratom. Gre za zelo obsežen izjemen izdelek, ker imate 3 kocke, skupaj trikrat vsak izraz, pomnožen z vsakim izrazom, in šestkratni zmnožek iz treh izrazov. Bolje videno:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Primer 1
Rešene vaje pomembnih izdelkov
Vaja 1
Razširite naslednje binomne kocke: (4x - 6) 3 .
Rešitev
Če se spomnimo, da je binomna kocka enaka prvem izrazu na kock, minus trikratnik kvadrata prvega pojma, ki je enak drugemu; plus trikratnik prvega izraza, krat drugi kvadrat, minus kocka drugega pojma.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Vaja 2
Razvijte naslednji binom: (x + 3) (x + 8).
Rešitev
Obstaja binom, kjer obstaja skupni izraz, to je x in drugi izraz je pozitiven. Če ga želite razviti, morate samo sestaviti skupni izraz in seštevek izrazov, ki niso pogosti (3 in 8), in jih nato pomnožiti s skupnim izrazom, plus vsoto množenja izrazov, ki niso pogosti.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Reference
- Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
- Das, S. (drugi). Maths Plus 8. Združeno kraljestvo: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementarna in vmesna algebra: kombinirani pristop. Florida: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearsonova vzgoja.