Na okrogli permutacij različne vrste skupin vseh elementov niza, ko so se razporejeni v krogih. Pri tej vrsti permutacije je vrstni red pomemben in elementi se ne ponovijo.
Recimo, da želite vedeti, koliko ločenih nizov števk je ena do štiri, pri čemer vsako številko postavite v eno od vrhov romba. To bi bilo skupaj 6 dogovorov:
Ne smemo zamenjati, da je številka ena v zgornjem položaju romba v vseh primerih kot fiksni položaj. Krožne permutacije se z vrtenjem matrike ne spremenijo. Sledijo ena ali ista permutacija:
Demo in formule
V primeru različnih štirimestnih krožnih nizov, ki se nahajajo v zgornjih mejah romba, je mogoče najti število nizov (6) tako:
1- Vsaka od štirih številk se vzame za izhodišče pri katerem koli od tock in se premakne na naslednje točko. (ni pomembno, ali je obrnjen ali v nasprotni smeri urinega kazalca)
2- Za izbiro drugega toka so na voljo 3 možnosti, nato pa obstajata dve možnosti za izbiro tretjega točka in seveda obstaja le ena možnost izbire za četrto točko.
3- Tako je število krožnih permutacij, označenih s (4 - 1) P (4 - 1), dobljeno s produktom izbirnih možnosti v vsakem položaju:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 različnih 4-mestnih krožnih nizov.
Na splošno je število krožnih permutacij, ki jih je mogoče doseči z vsemi n elementi niza:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)
Upoštevajte, da (n - 1)! Znano je kot n tovarniške in skrajšuje zmnožek vseh števil od števila (n - 1) do vključno številke ena.
Primeri
Primer 1
Na koliko različnih načinov mora 6 ljudi sedeti za okroglo mizo?
Želite najti število različnih načinov, kako lahko 6 ljudi sedi okoli okrogle mize.
Število načinov sedenja = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Število načinov sedenja = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 različnih načinov
Primer 2
Na koliko različnih načinov se mora 5 ljudi znajti na vrhovih pentagona?
Išče se število načinov, na katerih se lahko nahaja 5 ljudi v vsaki od vrhov pentagona.
Število načinov, kako najti = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
Število načinov, kako najti = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 različnih načinov
Rešene vaje
- Vaja 1
Draguljar pridobi 12 različnih dragih kamnov, da jih lahko postavi v točke ure, ki jo pripravlja v imenu kraljeve hiše evropske države.
a) Koliko različnih načinov mora razporediti kamne na uro?
b) Koliko različnih oblik ima, če je kamen, ki gre do 12. ure, edinstven?
c) Koliko različnih oblik, če je kamen ob 12. uri edinstven, kamni pa na ostalih treh kardinalnih točkah, 3, 6 in 9 uri; Ali obstajajo trije določeni kamni, ki jih je mogoče izmenjati, preostale ure pa so dodeljene od preostalih kamnov?
Rešitve
a) zahteva se število načinov za razporeditev vseh kamnov na obodu ure; torej število krožnih aranžmajev, ki vključujejo vse razpoložljive kamne.
Število razporeditev na uri = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Število popravkov na uri = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Število aranžmajev na uri = 39976800 različnih oblik
b) se sprašuje, koliko različnih načinov naročanja obstaja, saj ve, da je kamen na 12-urnem ročaju edinstven in pritrjen; torej število krožnih aranžmajev, ki vključujejo preostalih 11 kamnov.
Število aranžmajev na uri = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Število popravkov na uri = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Število aranžmajev na uri = 3.628.800 različnih oblik
c) Na koncu je treba iskati število načinov za naročilo vseh kamnov, razen kamna, ki je pritrjen v 12 urah, kamnov 3, 6 in 9 s 3 kamni, ki jih je treba pripisati drug drugemu; torej 3! možnosti ureditve in število krožnih aranžmajev, ki vključujejo preostalih 8 kamnov.
Število popravkov v uri = 3! * = 3! * (8–1)!
Število aranžmajev v uri = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Število aranžmajev na uri = 241920 različnih oblik
- Vaja 2
Usmerjevalni odbor družbe sestavlja 8 članov in se sestajajo za ovalno mizo.
a) Koliko različnih oblik ureditve okrog mize ima odbor?
b) Recimo, da predsednik sedi na čelu mize v katerem koli dogovoru odbora, koliko različnih oblik dogovora ima preostali odbor?
c) Recimo, da podpredsednik in sekretar sedita na obeh straneh predsednika v katerem koli dogovoru odbora. Koliko različnih oblik dogovora ima preostali odbor?
Rešitve
a) Poiskati želimo različne načine, kako 12 članov odbora razporediti okoli ovalne mize.
Število ureditev odbora = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Število ureditev odborov = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Število ureditev odborov = 39976800 različnih obrazcev
b) Ker je predsednik odbora nameščen v fiksnem položaju, je treba poiskati več načinov za naročanje preostalih 11 članov odbora okoli ovalne mize.
Število ureditev odborov = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Število ureditev odbora = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Število ureditev odborov = 3.628.800 različnih obrazcev
c) Predsednik je v fiksnem položaju in ob straneh sta podpredsednik in sekretar z dvema možnostma razporeditve: podpredsednik na desni in sekretar na levi ali podpredsednik na levi in sekretar na desni. Potem želite najti več različnih načinov, kako narediti preostalih 9 članov odbora okoli ovalne mize in pomnožiti z dvema oblikama ureditve, ki jih imata podpredsednik in sekretar.
Št. Dogovorov o odborih = 2 * = 2 *
Število ureditev odborov = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Število ureditev odborov = 80640 različnih obrazcev
Reference
- Boada, A. (2017). Uporaba permutacije s ponavljanjem kot poučevanje eksperimentov. Revija Vivat Academia. Pridobljeno iz researchgate.net.
- Canavos, G. (1988). Verjetnost in statistika. Vloge in metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
- Steklo, G .; Stanley, J. (1996). Statistične metode, ki se ne uporabljajo za družbene vede. Prentice Hall Hispanoamericana SA
- Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistika. Četrto izd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
- Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ka, Ka. (2007). Verjetnost in statistika za inženirje in znanstvenike. Osmi izd. Pearson Education International Prentice Hall.
- Webster, A. (2000). Statistika, ki se uporablja za poslovanje in gospodarstvo. Tretji izd. McGraw-Hill / Interamericana SA
- Wikipedija. (2019). Permutacija Pridobljeno s strani en.wikipedia.org.