HIPERKUBA: OPREDELITEV, DIMENZIJE, KOORDINATE, RAZPLET - MATEMATIKA - 2026

Hiperkocko je kocka dimenzije n. Poseben primer štiridimenzionalne hiperkube se imenuje tesserakt. Hiperkuba ali n-kocka je sestavljena iz ravnih segmentov, vsi enake dolžine, ki so pravokotni v svojih konicah.

Človeška bitja zaznavajo tridimenzionalni prostor: širino, višino in globino, vendar nam ni mogoče prikazati hiperkube z dimenzijo, večjo od 3.

Slika 1. 0-kocka je točka, če se ta točka razteza v smeri razdalje a tvori 1-kocko, če ta 1-kocka razširi razdaljo a v pravokotni smeri, imamo 2-kocko (od strani x do a), če 2-kocka razširi razdaljo a v pravokotni smeri, imamo 3-kocko. Vir: F. Zapata.

Kvečjemu lahko naredimo projekcije v tridimenzionalnem prostoru, da ga predstavljamo, na podoben način, kako kocko projiciramo na ravnino, da jo predstavljamo.

V dimenziji 0 je edina številka točka, zato je 0-kocka točka. 1-kocka je raven odsek, ki se tvori s premikanjem točke v eno smer oddaljenosti a.

2-kocka je kvadrat. Zgrajena je s premikanjem 1-kocke (odsek dolžine a) v smeri y, ki je pravokotna na smer x, razdaljo a.

3-kocka je običajna kocka. Zgrajen je iz kvadrata tako, da ga premaknemo v tretjo smer (z), ki je pravokotna na smeri x in y, oddaljenost a.

Slika 2. 4-kocka (tesseract) je podaljšek 3-kocke v pravokotni smeri na tri običajne prostorske smeri. Vir: F. Zapata.

4-kocka je tesserakt, ki je zgrajen iz 3-kocke, ki jo premika pravokotno, razdalja a, proti četrti dimenziji (ali četrti smeri), ki je ne moremo zaznati.

Tesserakt ima vse svoje prave kote, ima 16 okončin, vsi njegovi robovi (skupaj 18) pa imajo enako dolžino a.

Če je dolžina robov n-kocke ali hiperkube dimenzije n enaka 1, potem je to enotna hiperkuba, v kateri najdaljša diagonala meri √n.

Slika 3. N-kocka dobimo iz (n-1) -kube, ki jo pravokotno razširi v naslednji dimenziji. Vir: wikimedia commons.

Kakšne so dimenzije?

Dimenzije so stopnje svobode ali možne smeri, v katerih se lahko predmet premika.

V dimenziji 0 ni mogoče prevesti in edini možni geometrijski predmet je točka.

Dimenzija v evklidskem prostoru je predstavljena z usmerjeno črto ali osjo, ki definira to dimenzijo, imenovano os X. Ločnica med dvema točkama A in B je evklidska razdalja:

d = √.

V dveh dimenzijah je prostor predstavljen z dvema črtama, usmerjenima pravokotno drug na drugega, ki se imenujeta os X in Y.

Položaj katere koli točke v tem dvodimenzionalnem prostoru je izražen s parom kartezijanskih koordinat (x, y), razdalja med dvema točkama A in B pa bo:

d = √

Ker gre za prostor, v katerem je izpolnjena Euclidova geometrija.

Tridimenzionalni prostor

Tridimenzionalni prostor je prostor, v katerem se gibljemo. Ima tri smeri: širino, višino in globino.

V prazni sobi pravokotni vogali dajejo te tri smeri in vsakemu lahko dodamo os: X, Y, Z.

Ta prostor je tudi evklidski, razdalja med dvema točkama A in B pa se izračuna na naslednji način:

d = √

Človeška bitja ne morejo zaznati več kot treh prostorskih (ali evklidskih) dimenzij.

Vendar je s strogo matematičnega vidika mogoče določiti n-dimenzionalni evklidski prostor.

V tem prostoru ima točka koordinate: (x1, x2, x3,… .., xn) in razdalja med dvema točkama je:

d = √.

Četrta dimenzija in čas

Dejansko se v teoriji relativnosti čas obravnava kot še ena dimenzija in z njo je povezana koordinata.

Pojasniti pa je treba, da je ta koordinata, povezana s časom, namišljeno število. Zato ločitev dveh točk ali dogodkov v vesolju in času ni evklidska, temveč sledi Lorentzovi metriki.

Štiridimenzionalni hiperkub (tesserakt) ne živi v vesolju in času, spada v štiridimenzionalni evklidski hiperprostor.

Slika 4. 3D projekcija štiridimenzionalnega hiperkuba v preprostem vrtenju okoli ravnine, ki deli lik od spredaj na levo, nazaj na desno in od zgoraj navzdol. Vir: Wikimedia Commons.

Koordinate hiperkuba

Koordinate vrhov n-kocke, usmerjene v izvor, dobimo z izvedbo vseh možnih permutacij naslednjega izraza:

(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)

Kjer je a dolžina roba.

-V količina iz n-kocke robom je: (a / 2) ⁿ (2 ⁿ ) = a ⁿ .

-Najdaljša diagonala je razdalja med nasprotnimi točki.

-V kvadratu sta nasprotni točki : (-1, -1) in (+1, +1).

-In v kocki : (-1, -1, -1) in (+1, +1, +1).

-Najdaljša diagonala n-kocke meri:

d = √ = √ = 2√n

V tem primeru se domneva, da je stran a = 2. Za n-kocko strani katere koli bo:

d = a√n.

-Tesseract ima vsakih svojih 16 vrhov povezanih s štirimi robovi. Naslednja slika prikazuje, kako so vrhovi povezani v tesseraktu.

Slika 5. Prikazanih je 16 tock štiridimenzionalnega hiperkuba in kako so povezane. Vir: Wikimedia Commons.

Razplet hiperkuba

Navadni geometrijski lik, na primer polieder, lahko razgrnemo v več figur manjše dimenzije.

V primeru 2-kocke (kvadrata) jo lahko razdelimo na štiri segmente, torej na štiri 1-kocke.

Podobno lahko 3-kocko razgrnete v šest 2-kock.

Slika 6. N-kocko je mogoče razviti v več (n-1)-kock. Vir: Wikimedia Commons.

4-kocko (tesseract) lahko razgrnete v osem 3-kock.

Naslednja animacija prikazuje odvijanje tesserakta.

Slika 7. Štiridimenzionalno hiperkub lahko razgrnete v osem tridimenzionalnih kock. Vir: Wikimedia Commons.

Slika 8. Tridimenzionalna projekcija štiridimenzionalnega hiperkuba, ki izvaja dvojno vrtenje okrog dveh pravokotnih ravnin. Vir: Wikimedia Commons.

Reference

1. Znanstvena kultura. Hiperkuba, ki vizualizira četrto dimenzijo. Pridobljeno: culturacientifica.com
2. Epsiloni. Štiridimenzionalna hiperkuba ali tesserakt. Pridobljeno: epsilones.com
3. Perez R, Aguilera A. Metoda za pridobitev tesserakta iz razvoja hiperkube (4D). Pridobljeno: researchgate.net
4. Wikibooks. Matematika, poliedri, hiperkubije. Pridobljeno: es.wikibooks.org
5. Wikipedija. Hiperkuba. Pridobljeno: en.wikipedia.com
6. Wikipedija. Tesseract. Pridobljeno: en.wikipedia.com