ORTOHEDRON: FORMULE, OBMOČJE, VOLUMEN, DIAGONALA, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Orthohedron je volumetrična ali tridimenzionalni geometrijski lik, ki je označen s tem, šest pravokotnih ploskev, tako da so nasprotni ploskvi v vzporednih ravninah in so enaki ali ujemajo pravokotniki. Po drugi strani so obrazi, ki mejijo na dani obraz, v ravninah, ki so pravokotne na prvotno stran.

Ortoedar lahko štejemo tudi za pravokotno prizmo s pravokotno podlago, v kateri dvokotni koti, ki jih tvorita ravnini dveh obrazov, ki mejijo na skupni rob, merijo 90 °. Dvostranski kot med dvema ploskvama se meri na presečišču ploskev s skupno pravokotno ravnino.

Slika 1. Ortohedron. Vir: F. Zapata z Geogebra.

Prav tako je ortohedron pravokotni paralelepiped, saj je tako paralelepiped opredeljen kot volumetrična figura šestih obrazov, ki sta vzporedna dva po dva.

V katerem koli paralelepipedu so obrazi paralelogrami, v pravokotnem paralelepipedu pa morajo biti obrazi pravokotni.

Deli ortoedra

Deli poliedra, kot so ortoedri, so:

-Aristas

-Vertice

Obrazi

Kot med obema robovoma obraza ortoedra sovpada z dvokonskim kotom, ki ga tvorita druga dva obraza, ki mejita na vsak rob, tvorita pravi kot. Naslednja slika razjasni vsak koncept:

Slika 2. Deli ortoedra. Vir: F. Zapata z Geogebra.

-Skupno ima ortohedron 6 obrazov, 12 robov in 8 vrhov.

-Kota med katerim koli dvema robovima je pravi kot.

-Doderni kot med dvema stranema je prav tako.

-V vsakem obrazu so štiri točke in v vsaki točki so tri medsebojno pravokotne ploskve.

Formule ortoedra

Območje

Površina ortoedra je vsota površin njihovih obrazov.

Če imajo trije robovi, ki se srečujejo v točki, mere a, b in c, kot je prikazano na sliki 3, ima sprednja stran površino c⋅b, spodnja ploskev pa tudi območje c⋅b.

Nato imata obe stranski ploskvi površino a⋅b. In končno, tla in stropni ploskvi imata vsako površino.

Slika 3. Ortoeder dimenzij a, b, c. Notranja diagonala D in zunanja diagonala d.

Če dodamo območje vseh obrazov, dobimo:

Ob upoštevanju skupnega dejavnika in naročanja pogojev:

Zvezek

Če o ortoedru razmišljamo kot o prizmi, potem se njegov volumen izračuna takole:

V tem primeru se kot pravokotna podlaga vzame tla dimenzij c in a, tako da je površina osnove c⋅a.

Višina je podana z dolžino b robov, pravokotnih na ploskvi strani a in c.

Če pomnožimo površino osnove (a⋅c) z višino b, dobimo prostornino V ortoedra:

Notranja diagonala

V ortoedru sta dve vrsti diagonale: zunanja diagonala in notranja diagonala.

Zunanje diagonale so na pravokotnih ploskvah, notranje diagonale pa so segmenti, ki se povezujejo v dve nasprotni točki, pri čemer jih razumejo nasprotna točki, ki nimajo nobenega roba.

V ortoedru so štiri notranje diagonale, vse enake mere. Dolžino notranjih diagonalov lahko dobimo z uporabo pitagorejskega izrekanja za prave trikotnike.

Dolžina d zunanje diagonale talne strani ortoedra izpolnjuje pitagorejski odnos:

d ² = a ² + c ²

Podobno notranja diagonala ukrepa D izpolnjuje pitagorejski odnos:

D ² = d ² + b ² .

Združujemo dva prejšnja izraza:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Končno je dolžina katere koli notranje diagonale ortoedra določena z naslednjo formulo:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Primeri

- Primer 1

Zidar zgradi rezervoar v obliki ortoedra, katerega notranje dimenzije so: 6 m x 4 m v bazi in 2 m v višino. Vpraša:

a) Določite notranjo površino rezervoarja, če je popolnoma odprta na vrhu.

b) Izračunajte prostornino notranjega prostora rezervoarja.

c) Poiščite dolžino notranje diagonale.

d) Kolikšna je prostornina rezervoarja v litrih?

Rešitev za

Vzeli bomo dimenzije pravokotne osnove a = 4 m in c = 6 m in višino kot b = 2 m

Površina ortoedra z danimi dimenzijami je podana z naslednjim razmerjem:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Se pravi:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Prejšnji rezultat je območje zaprtega ortoedra z danimi dimenzijami, ker pa je rezervoar popolnoma odkrit v svojem zgornjem delu, je za pridobitev površine notranjih sten rezervoarja treba odšteti območje manjkajočega pokrova, to je:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Končno bo notranja površina rezervoarja: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Rešitev b

Notranja prostornina rezervoarja je izražena s prostornino ortoedra notranjih dimenzij rezervoarja:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Rešitev c

Notranja diagonala oktaedra z dimenzijami notranjosti rezervoarja ima dolžino D, določeno z:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Izvajamo navedene operacije:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Rešitev d

Za izračun prostornine rezervoarja v litrih je potrebno vedeti, da je prostornina kubičnega decimetra enaka prostornini litra. Pred tem je bila izračunana prostornina v kubičnih metrih, vendar jo je treba pretvoriti v kubične decimetre in nato v litre:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Vaja 2

Stekleni akvarij ima kubično obliko s stranico 25 cm. Določite površino v m ² , prostornino v litrih in dolžino notranje diagonale v cm.

Slika 4. Stekleni akvarij v kubični obliki.

Rešitev

Površina se izračuna po enaki formuli ortoedra, vendar ob upoštevanju, da so vse dimenzije enake:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1.250 cm ²

Prostornina kocke je podana z:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15.625 cm ³ = 15.625 (0,1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

Dolžina D notranje diagonale je:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Reference

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Pridobljeno: youtube.com.
2. Izračun.cc. Vaje in reševanje problemov področij in obsega. Pridobljeno: računa.cc.
3. Salvador R. piramida + ortohedron z GEOGEBRA (IHM). Pridobljeno: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Ortohedron". MathWorld. Wolfram raziskave.
5. Wikipedija. Ortohedron Pridobljeno: es.wikipedia.com