BOOLOVA ALGEBRA: ZGODOVINA, IZREK IN POSTULATI, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Boolova algebra ali Boolova algebra je algebraična zapis uporablja za zdravljenje binarnih spremenljivk. Zajema študije katere koli spremenljivke, ki ima le dva možna rezultata, ki se dopolnjujeta in se medsebojno izključujeta. Na primer, spremenljivke, katerih edina možnost je resnična ali napačna, pravilna ali napačna, vklopljena ali izklopljena, so osnova za preučevanje Boolove algebre.

Boolova algebra je osnova digitalne elektronike, zaradi česar je danes precej prisotna. Ureja ga koncept logičnih vrat, pri katerih opazno vplivajo znane operacije v tradicionalni algebri.

Vir: pexels.com

Zgodovina

Booleovo algebro je leta 1854 uvedel angleški matematik George Boole (1815 - 1864), ki je bil takrat samouk. Njegova skrb je nastala zaradi obstoječega spora med Augustusom De Morganom in Williamom Hamiltonom glede parametrov, ki definirajo ta logični sistem.

George Boole je trdil, da opredelitev numeričnih vrednosti 0 in 1 na področju logike ustreza interpretaciji Nič in Vesolje.

George Boole je nameraval skozi lastnosti algebre opredeliti izraze logike predloga, ki so potrebni za obravnavo spremenljivk binarnega tipa.

Leta 1854 so bili najpomembnejši odseki boolove algebre objavljeni v knjigi "Preiskava zakonov mišljenja, na katerih temeljijo matematične teorije logike in verjetnosti."

Ta radovedni naslov bi pozneje povzel kot "Zakoni misli" ("Zakoni misli"). Naslov se je razveselil zaradi takojšnje pozornosti, ki jo je dobil od takratne matematične skupnosti.

Leta 1948 jo je Claude Shannon uporabil za načrtovanje bistabilnih električnih stikalnih vezij. To je predstavljalo uvod v uporabo logične algebre v celotni elektronsko-digitalni shemi.

Struktura

Elementarne vrednosti v tej vrsti algebre so 0 in 1, kar ustreza FALSE in TRUE. Temeljne operacije v logični algebri so 3:

- IN delovanje ali vezanje. Zastopan v obdobju (.). Sopomenka izdelka.

- ALI delovanje ali ločitev. Predstavljen s križcem (+) Sinonim vsote.

- NE obratovanje ali negacija. Predstavljen s predpono NOT (NOT A). Znano je tudi kot dopolnilo.

Če so v množici A 2 zakoni notranje sestave opredeljeni kot produkt in vsota (. +), Potem je trojka (A. +) Boolova algebra, če in samo, če omenjena trojka izpolnjuje pogoj, da je rešetka distribucijski.

Za določitev distribucijske rešetke morajo biti med danimi operacijami izpolnjeni pogoji distribucije:

. je porazdeljen glede na vsoto + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ je distribucija glede na izdelek. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementi, ki sestavljajo A, morajo biti binarni, tako da imajo univerzalne ali prazne vrednosti.

Prijave

Njegov glavni uporabni scenarij je digitalna veja, kjer služi za strukturiranje vezij, ki sestavljajo logične operacije. Umetnost enostavnosti vezja v korist optimizacije procesov je rezultat pravilne uporabe in prakse Boolove algebre.

Od izdelave električnih panelov do prenosa podatkov do programiranja v različnih jezikih lahko pogosto najdemo Booleovo algebro v vseh vrstah digitalnih aplikacij.

Boolove spremenljivke so zelo pogoste v strukturi programiranja. Odvisno od uporabljenega programskega jezika bodo v kodi strukturne operacije, ki uporabljajo te spremenljivke. Pogoji in argumenti vsakega jezika dopuščajo logične spremenljivke za definiranje procesov.

Postulati

Obstajajo teoremi, ki urejajo strukturne logične zakone Boolove algebre. Na enak način obstajajo postulati, ki poznajo možne rezultate v različnih kombinacijah binarnih spremenljivk, odvisno od izvedene operacije.

Vsota (+)

Operater OR , katerega logični element je zveza (U), je za binarne spremenljivke opredeljen na naslednji način:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Izdelek (.)

Operater AND , katerega logični element je presečišče (∩), je za binarne spremenljivke opredeljen na naslednji način:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

eno. 0 = 0

eno. 1 = 1

Nasproti (NE)

Operater NOT , katerega logični element je dopolnilo (X) ', je za binarne spremenljivke opredeljen na naslednji način:

NE 0 = 1

NE 1 = 0

Mnogi postulati se od običajnih algebrov razlikujejo od svojih kolegov. To je posledica domene spremenljivk. Na primer, dodajanje univerzumskih elementov v logični algebri (1 + 1) ne more dati običajnega rezultata 2, ker ne spada med elemente binarnega niza.

Teoremi

Pravilo nič in enotnost

Opredeljena je vsaka preprosta operacija, ki vključuje element z binarnimi spremenljivkami:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

eno. A = A

Enake moči ali idempotenca

Operacije med enakimi spremenljivkami so opredeljene kot:

A + A = A

TO. A = A

Dopolnitev

Vsaka operacija med spremenljivko in njenim dopolnilom je opredeljena kot:

A + NE A = 1

TO. NE A = 0

Involucija ali dvojna negacija

Vsaka dvojna negacija se šteje za naravno spremenljivko.

NE (NI A) = A

Komutativen

A + B = B + A; Komutativnost vsote.

TO. B = B. TO; Komutativnost izdelka.

Asociativni

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Združljivost vsote.

TO. (B. C) = (A. B). C = A B. C; Združljivost izdelkov

Distributivni

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Porazdelitev vsote glede na izdelek.

TO. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributivnost izdelka glede na vsoto.

Zakoni absorpcije

Med številnimi referencami je veliko zakonov absorpcije, nekateri najbolj znani so:

TO. (A + B) = A

TO. (NE A + B) = A. B

NE A (A + B) = NE B

(A + B). (A + NE B) = A

A + A B = A

A + NE B = A + B

NE A + A. B = NE A + B

TO. B + A NE B = A

Morganov izrek

So zakoni transformacije, ki obravnavajo pare spremenljivk, ki medsebojno delujejo med definiranimi operacijami Boolove algebre (+.).

NOT (A. B) = NE A + NOT B

NE (A + B) = NE NE B

A + B = NE (NE A + NE B)

TO. B = NE (NE A. NE B)

Dvojnost

Vsi postulati in izrek imajo sposobnost dvojnosti. To pomeni, da se z izmenjavo spremenljivk in operacij dobljeni predlog preveri. To pomeni, če zamenjate 0 za 1 in AND za ALI ali obratno; ustvari se izraz, ki bo tudi popolnoma veljaven.

Na primer, če se vzame postulat

eno. 0 = 0

In uporablja se dvojnost

0 + 1 = 1

Dobi se še en popolnoma veljaven postulat.

Karnaughov zemljevid

Karnaughov zemljevid je diagram, ki se uporablja v boolovski algebri za poenostavitev logičnih funkcij. Sestavljen je iz dvodimenzionalne ureditve, podobne tabelam resnice predloge logike. Podatke iz tabel resnice je mogoče neposredno zajeti na zemljevidu Karnaugh.

Karnaughov zemljevid lahko sprejme procese do 6 spremenljivk. Pri funkcijah z večjim številom spremenljivk se priporoča uporaba programske opreme za poenostavitev postopka.

Leta 1953, ki ga je predlagal Maurice Karnaugh, so ga ustanovili kot fiksno orodje na področju Boolove algebre, saj njegovo izvajanje sinhronizira človeški potencial s potrebo po poenostavitvi logičnih izrazov, ključnega vidika v pretočnosti digitalnih procesov.

Primeri

Boolova algebra se uporablja za zmanjšanje logičnih vrat v vezju, kjer je prednostna naloga, da se kompleksnost ali raven vezja doseže na najnižji možni izraz. To je posledica računalniške zamude, ki jo predvideva vsaka vrata.

V naslednjem primeru bomo opazovali poenostavitev logičnega izraza do njegovega minimalnega izraza z uporabo teoremov in postulatov Boolove algebre.

NE (AB + A + B). NE (A + NE B)

NE. NE (A + NE B); Faktoring A s skupnim faktorjem.

NE. NE (A + NE B); Po izrek A + 1 = 1.

NE (A + B). NE (A + NE B); po izrek A. 1 = A

(NE A. NE B). ;

Po Morganovem teoremu NE (A + B) = NE A. NE B

(NE A. NE B). (NE A. B); Z dvojnim negacijskim izrekom NE (NOT A) = A

NE NE B NE B; Algebrajska skupina.

NE NE NE B B; Komutativnost izdelka A. B = B. TO

NE NE B B; Po izrek A A = A

NE 0; Po izrek A NE A = 0

0; Po izrek A 0 = 0

TO. B. C + NE A + A NE B C

TO. C. (B + NE B) + NE A; Faktoring (A. C) s skupnim faktorjem.

TO. C. (1) + NE A; Po izrek A + NE A = 1

TO. C + NE A; Po pravilu nič teorema in enotnosti 1. A = A

NE A + C ; Po zakonu Morgan A + NE A. B = A + B

Za to rešitev je treba Morganov zakon razširiti tako, da določa:

NE (NE A). C + NE A = NE A + C

Ker NE (NE A) = A z vpadanjem.

Poenostavite logično funkcijo

NE NE B NE C + NE NE B C + NE NE C do najmanjšega izražanja

NE NE B (NE C + C) + NE NE C; Faktoring (NE A. NE B) s skupnim faktorjem

NE NE B (1) + NE NE C; Po izrek A + NE A = 1

(NE A. NE B) + (NE A. NE C); Po pravilu nič teorema in enotnosti 1. A = A

NOT A (NOT B + NOT C); Faktoring NE A s skupnim faktorjem

NE NE (B. C); Po Morganovih zakonih NE (A. B) = NE A + NE B

NE Po Morganovih zakonih NOT (A. B) = NOT A + NOT B

Katera koli od štirih krepkih možnosti predstavlja možno rešitev za zmanjšanje nivoja vezja

Poenostavite logično funkcijo do njene najpreprostejše oblike

(A. NE B. C + A. NE B. B. D + NOT A. NOT B). C

(A. NE B. C + A. 0. D + NE A. NE B). C; Po izrek A NE A = 0

(A. NE B. C + 0 + NE A. NE B). C; Po izrek A 0 = 0

(A. NE B. C + NE A. NE B). C; Po izrek A + 0 = A

TO. NE B C. C + NE NE B C; Po distribuciji izdelka glede na vsoto

TO. NE B C + NE NE B C; Po izrek A A = A

NE B C (A + NE A) ; Faktoring (NE B. C) s skupnim faktorjem

NE B C (1); Po izrek A + NE A = 1

NE B C; Po pravilu nič teorema in enotnosti 1. A = A

Reference

1. Boolova algebra in njene aplikacije J. Eldon Whitesitt. Založba Continental, 1980.
2. Matematika in inženirstvo v računalništvu. Christopher J. Van Wyk. Inštitut za računalniške znanosti in tehnologijo. Državni urad za standarde. Washington, DC 20234
3. Matematika za računalništvo. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton, Oddelek za matematiko in računalništvo in laboratorij AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elementi abstraktne analize. Mícheál O'Searcoid, dr. Oddelek za matematiko. Univerzitetni kolidž Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Uvod v logiko in metodologijo deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Univerza v Oxfordu.