- Primeri stopnje polinoma
- Tabela 1. Primeri polinomov in njihovih stopenj
- Postopek za delo z polinomi
- Naročite, zmanjšajte in dokončajte polinom
- Pomen stopnje polinoma poleg seštevanja in odštevanja
- Rešene vaje
- - Vaja rešena 1
- Rešitev
- - Vaja rešena 2
- Rešitev
- Reference
Stopnja polinoma v spremenljivke je podana z izrazom, ki je največji eksponent, in če ima polinom dve ali več spremenljivk, nato pa se je stopnja določena z vsoto eksponentov vsakega mandata, pri čemer je večja vsota stopnja polinoma.
Poglejmo, kako na praktičen način določiti stopnjo polinoma.
Slika 1. Einsteinova znana enačba za energijo E je monom absolutne stopnje 1 za spremenljivo maso, označeno z m, saj se hitrost svetlobe c šteje za konstantno. Vir: Piqsels.
Predpostavimo, da je polinom P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Ta polinom je ena spremenljivka, v tem primeru je spremenljivka x. Ta polinom je sestavljen iz več pojmov, ki so naslednji:
In kaj je zdaj eksponent? Odgovor je 3. Zato je P (x) polinom stopnje 3.
Če ima zadevni polinom več kot eno spremenljivko, je lahko stopnja:
-Apsolutno
-V zvezi s spremenljivko
Absolutno stopnjo najdemo, kot je razloženo na začetku: dodajanje eksponent posameznih pojmov in izbira največjega.
Namesto tega je stopnja polinoma glede na eno od spremenljivk ali črk največja vrednost eksponenta, ki ga omenjena črka ima. Bistvo bo postalo bolj jasno s primeri in rešenimi vajami v naslednjih razdelkih.
Primeri stopnje polinoma
Polinomi se lahko razvrstijo po stopnjah in so lahko prve stopnje, druge stopnje, tretje stopnje in tako naprej. Na primer na sliki 1 je energija monomia prve stopnje za maso.
Pomembno je tudi opozoriti, da je število izrazov, ki jih ima polinom, enako stopnji plus 1. Tako:
- Polinomi prve stopnje imajo 2 pojma: a 1 x + a o
-Prinom polimera druge stopnje ima 3 pojma: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Primon tretje stopnje ima 4 izraze: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a ali
In tako naprej. Pozorni bralec bo opazil, da so polinomi v prejšnjih primerih zapisani v padajoči obliki, torej da na prvo mesto postavljajo izraz.
Naslednja tabela prikazuje različne polinome ene in več spremenljivk ter njihovih absolutnih stopenj:
Tabela 1. Primeri polinomov in njihovih stopenj
| Polinom | Stopinja |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | eno |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 in 5 + 5x 2 in 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Zadnja dva polinoma imata več spremenljivk. Od tega je izraz z najvišjo absolutno stopnjo poudarjen krepko, tako da lahko bralec hitro preveri stopnjo. Pomembno si je zapomniti, da kadar spremenljivka nima zapisanega eksponenta, razumemo, da je navedeni eksponent enak 1.
Na primer, v označenem izrazu ab 3 x 2 obstajajo tri spremenljivke, in sicer: a, b in x. V tem izrazu se a poveča na 1, to je:
a = a 1
Zato je ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Ker je eksponent b 3 in je x enak 2, takoj sledi, da je stopnja tega izraza:
1 + 3 + 2 = 6
Y je absolutna stopnja polinoma, saj noben drug izraz nima višje stopnje.
Postopek za delo z polinomi
Pri delu z polinomi je treba biti pozoren na stopnjo le-te, saj je najprej in preden izvedete katero koli operacijo, priročno slediti tem korakom, v katerih stopnja vsebuje zelo pomembne podatke:
-Poredite prednostni polinom v padajoči smeri. Tako je izraz z najvišjo stopnjo na levi, izraz z najnižjo stopnjo pa na desni.
-Zmanjšaj podobne izraze, postopek, ki vključuje algebraično dodajanje vseh izrazov iste spremenljivke in stopnje, ki jih najdemo v izrazu.
-Če je potrebno, polinomi se izpolnijo in vstavijo izraze, katerih koeficient je 0, če manjkajo izrazi z eksponentom.
Naročite, zmanjšajte in dokončajte polinom
Glede na polinom P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, ga prosimo, da ga naročite v padajočem vrstnem redu, zmanjšajte podobne izraze, če obstajajo, in dopolnite manjkajoče izraze če je natančen.
Prva stvar, ki jo je treba iskati, je izraz z največjo eksponento, to je stopnja polinoma, za katero se izkaže, da je:
x 7
Torej je P (x) stopnje 7. Nato je urejen polinom, začenši s tem izrazom na levi:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Zdaj se zmanjšujejo podobni izrazi, ki so naslednji: - 2x in 3x na eni strani. In 7 in -12 na drugi strani. Če jih želite zmanjšati, koeficiente dodamo algebrsko in spremenljivko pustimo nespremenjeno (če se spremenljivka ne pojavi poleg koeficienta, ne pozabite, da je x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Nadomestite te rezultate s P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
In na koncu se preuči polinom, da ugotovi, če kateri koli eksponent manjka in res manjka izraz, katerega eksponent je 6, torej ga dopolnimo z ničlami, kot je ta:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Zdaj je opaziti, da je polinom ostal z 8 pojmi, saj je, kot rečeno, število izrazov enako stopnji + 1.
Pomen stopnje polinoma poleg seštevanja in odštevanja
S polinomi lahko izvajate operacije seštevanja in odštevanja, pri katerih se dodajajo ali odštevajo samo podobni izrazi, ki so tisti z isto spremenljivko in isto stopnjo. Če ni podobnih izrazov, se seštevanje ali odštevanje preprosto navede.
Ko je seštevanje ali odštevanje opravljeno, pri čemer je slednji vsota nasprotnega, je stopnja nastalega polinoma vedno enaka ali manjša stopnji polinoma, ki doda najvišjo stopnjo.
Rešene vaje
- Vaja rešena 1
Poiščite naslednji seštevek in določite njegovo absolutno stopnjo:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Rešitev
To je polinom z dvema spremenljivkama, zato je priročno zmanjšati podobne izraze:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Oba izraza sta stopnje 3 v vsaki spremenljivki. Zato je absolutna stopnja polinoma 3.
- Vaja rešena 2
Polinom naslednje ravninske geometrijske figure izrazite kot polinom (slika 2 levo). Kakšna je stopnja nastalega polinoma?
Slika 2. Na levi je številka za razrešeno vajo 2, na desni pa ista figura razpadla na tri področja, katerih izraz je znan. Vir: F. Zapata.
Rešitev
Ker gre za območje, mora biti dobljeni polinom stopnje 2 v spremenljivki x. Če želite določiti primeren izraz za območje, se slika razdeli na znana območja:
Površina pravokotnika in trikotnika sta: osnovna x višina in osnova x višina / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Opomba : osnova trikotnika je 3x - x = 2x, njegova višina pa 5.
Zdaj so dodani trije dobljeni izrazi, s tem imamo območje slike kot funkcijo x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Reference
- Baldor, A. 1974. Elementarna algebra. Kulturna Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
- Wikibooks. Polinomi. Pridobljeno: es. wikibooks.org.
- Wikipedija. Stopnja (polinom). Pridobljeno: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra in trigonometrija. Mac Graw Hill.