ELIPSOID: ZNAČILNOSTI IN PRIMERI - ARTE - 2026

Elipsoid je ploskev v prostoru, ki spada v skupino kvadrik površin in katerih splošna enačba je v tej obliki:

Je tridimenzionalni ekvivalent elipse, za katerega je značilno, da ima v nekaterih posebnih primerih eliptične in krožne sledi. Sledi so krivulje, ki jih dobimo s presekanjem elipsoida z ravnino.

Slika 1. Trije različni elipsoidi: na vrhu krogla, v kateri so tri polsije enake, spodaj levo sferoid, z dvema enakima polosi in drugačno, na koncu pa spodaj desno, triosni sferoid s tremi različnimi osmi dolžino. Vir: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Poleg elipsoida obstaja še pet kvadrikov: enodelni in dvodelni hiperboloid, dve vrsti paraboloida (hiperbolični in eliptični) in eliptični stožec. Njene sledi so tudi stožčaste.

Elipsoid se lahko izrazi tudi s standardno enačbo v kartezijanskih koordinatah. Elipsoid, osredotočen na izvor (0,0,0) in izražen na ta način, spominja na elipso, vendar z dodatnim izrazom:

Vrednosti a, b in c so realna števila, večja od 0, in predstavljajo tri polosi elipsoida.

Elipsoidne značilnosti

- Standardna enačba

Standardna enačba v kartezijanskih koordinatah za elipso, usmerjena v točko (h, k, m), je:

- Parametrične enačbe elipsoida

V sferičnih koordinatah lahko elipsoid opišemo na naslednji način:

x = greh θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Polosi elipsoida ostanejo a, b in c, parametri pa so koti θ in φ naslednje slike:

Slika 2. Sferični koordinatni sistem. Elipsoid se lahko parametrizira z uporabo prikazanih kotov theta in phi kot parametrov. Vir: Wikimedia Commons. Andeggs / Javna domena.

- Sledi elipsoida

Splošna enačba površine v prostoru je F (x, y, z) = 0, sledi površine pa so krivulje:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

V primeru elipsoida so takšne krivulje elipse in včasih krogi.

- zvezek

Prostornina V elipsoida je podana s (4/3) π, ki je enaka zmnožku njegovih treh polosnih osi:

V = (4/3) π. abc

Posebni primeri elipsoida

-Elipsoid postane krogla, ko so vse polosi enake velikosti: a = b = c ≠ 0. To je smiselno, saj je elipsoid kot krogla, ki se različno raztegne vzdolž vsake os.

-Sferoid je elipsoid, v katerem sta dve polosi enaki, tretja pa drugačna, na primer bi lahko bila a = b ≠ c.

Sferoid se imenuje tudi elipsoid vrtenja, ker ga lahko ustvari z vrtenjem elipse okoli osi.

Če os vrtenja sovpada z glavno osjo, je sferoid prolat, če pa sovpada z manjšo osjo, je oblat:

Slika 3. Oblijte sferoid na levi strani in raztegnite sferoid na desni. Vir: Wikimedia Commons.

Ukrep sploščenosti sferoida (eliptičnost) je podan v razliki v dolžini med dvema polsankama, izražena v delni obliki, to je enotna sploščenost, ki jo poda:

f = (a - b) / a

V tej enačbi, a predstavlja pol-glavno os in b polsmerno os, ne pozabite, da je tretja os ena kot ena od teh za sferoid. Vrednost f je med 0 in 1, pri sferoidu pa mora biti večja od 0 (če bi bila enaka 0, bi preprosto imeli kroglo).

Referenčni elipsoid

Planeti in zvezde na splošno ponavadi niso popolne sfere, saj rotacijsko gibanje okoli njihovih osi poravna telo na polovicah in ga izboči ob ekvatorju.

Zato se Zemlja izkaže kot oblatni sferoid, čeprav ne tako pretiran kot prejšnja slika, plinski velikan Saturn pa je najbolj plosten od planetov v osončju.

Torej je bolj realističen način predstavitve planetov domnevati, da so kot sferoid ali elipsoid revolucije, katerih pol-glavna os je ekvatorialni polmer, pol-manjša os pa polarni polmer.

S previdnimi meritvami na svetu je bilo mogoče zgraditi referenčni elipsoid Zemlje kot najbolj natančen način za njegovo matematično delo.

Zvezde imajo tudi rotacijske gibe, ki jim dajejo bolj ali manj sploščene oblike. Hitro zvezda Ahernar, osma najsvetlejša zvezda na nočnem nebu v južnem ozvezdju Eridanus je v primerjavi z večino izjemno eliptična. Od nas je 144 svetlobnih let.

Na drugi skrajnosti so znanstveniki pred nekaj leti našli najbolj sferični predmet, ki so ga kdaj našli: zvezda Kepler 11145123, oddaljena 5000 svetlobnih let, dvakrat večja od našega Sonca in razlika med polosi v le 3 km. Po pričakovanjih tudi vrti počasneje.

Kar zadeva Zemljo, ni popoln sferoid zaradi svoje hrapave površine in lokalnih nihanj gravitacije. Zaradi tega je na voljo več kot en referenčni sferoid, na vsakem mestu pa je izbran najprimernejši lokalni zemljepis.

Pomoč satelitov je neprecenljiva pri ustvarjanju vedno bolj natančnih modelov oblike Zemlje, zahvaljujoč njim je na primer znano, da je južni pol bližje ekvatorju kot severni pol.

Slika 4. Haumea, transneptunski pritlikavi planet ima elipsoidno obliko. Vir: Wikimedia Commons.

Numerični primer

Zaradi vrtenja Zemlje nastane centrifugalna sila, ki ji namesto krogle daje obliko podolgovatega elipsoida. Ekvatorialni polmer Zemlje je znano 3963 milj, polarni polmer pa 3942 milj.

Poiščite enačbo ekvatorialne sledi, enačbe tega elipsoida in merilo njegove sploščenosti. Primerjajte tudi z eliptičnostjo Saturna s spodnjimi podatki:

-Seturn Ekvatorialni polmer: 60.268 km

-Polarni polmer Saturna: 54.364 km

Rešitev

Potreben je koordinatni sistem, za katerega bomo domnevali, da je osredotočen na izvor (središče Zemlje). Predpostavimo, da je navpična os z in sled, ki ustreza ekvatorju, leži na ravnini xy, kar ustreza ravnini z = 0.

V ekvatorialni ravnini sta osi a in b enaki, zato sta a = b = 3963 milj, c = 3942 milj. To je poseben primer: sferoida, usmerjena v točko (0,0,0), kot je navedeno zgoraj.

Ekvatorialna sled je krog polmera R = 3963 milj, osredotočen na izvor. Izračuna se tako, da v standardni enačbi dobimo z = 0:

Standardna enačba prizemnega elipsoida je:

f _Zemlja = (a - b) / a = (3963-3942) milj / 3963 milj = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Upoštevajte, da je eliptičnost f brezdimenzijska količina.

Reference

1. ArcGIS za namizje. Sferoidi in krogle. Pridobljeno: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Skrivnost najbolj sferičnega predmeta, odkritega v vesolju. Pridobljeno: bbc.com.
3. Larson, R. Izračun in analitična geometrija. Šesta izdaja. Zvezek 2. McGraw Hill.
4. Wikipedija. Elipsoid. Pridobljeno: en.wikipedia.org.
5. Wikipedija. Sferoid. Pridobljeno: en.wikipedia.org.