SARRUSOVO PRAVILO: KAJ JE SESTAVLJENO IN VRSTE DETERMINATORJEV - KULTURNI BESEDNJAK - 2025

Za izračun rezultata 3 × 3 determinante se uporablja pravilo Sarrus . Te se uporabljajo za reševanje linearnih enačb in ugotovitev, ali so združljive.

Združljivi sistemi olajšajo rešitev. Uporabljajo se tudi za določitev, ali so nabori vektorjev linearno neodvisni in tvorijo osnovo vektorskega prostora.

Te aplikacije temeljijo na invertibilnosti matric. Če je matrica pravilna, je njena določevalka različna od 0. Če je ednina, je njena determinant enaka 0. Determinante je mogoče izračunati le v kvadratnih matrikah.

Za izračunavanje matric poljubnega reda lahko uporabimo Laplaceov izrek. Ta izrek nam omogoča, da poenostavimo matrike velikih dimenzij, v seštevke majhnih determinant, ki jih razgradimo iz glavne matrice.

Navaja, da je določevalec matrike enak vsoti produktov vsake vrstice ali stolpca, ki je tolikokrat določilen kot njegova sosednja matrica.

To zmanjša determinante, tako da determinant stopnje n postane n determinatorjev n-1. Če zaporedoma uporabljamo to pravilo, lahko dobimo determinatorje dimenzije 2 (2 × 2) ali 3 (3 × 3), kjer je njegov izračun veliko lažji.

Sarrus pravilo

Pierre Frederic Sarrus je bil francoski matematik iz 19. stoletja. Večina njegovih matematičnih traktatov temelji na metodah reševanja enačb in preračunu variacij znotraj numeričnih enačb.

V enem od svojih traktatov je razrešil eno najbolj zapletenih ugank v mehaniki. Za reševanje problemov artikuliranih kosov je Sarrus uvedel preobrazbo alternativnih pravokotnih gibov v enotna krožna gibanja. Ta novi sistem je znan kot mehanizem Sarrus.

Raziskava, ki je tej matematiki prinesla največjo slavo, je bila ta, v kateri je uvedel novo metodo izračuna determinant, in sicer v članku "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Nova metoda za reševanje enačb), ki je bil objavljen v leto 1833. Ta način reševanja linearnih enačb je znan kot Sarrusovo pravilo.

Sarrusovo pravilo omogoča izračun determinante matrice 3 × 3, ne da bi bilo treba uporabiti Laplaceov teorem in uvesti veliko enostavnejšo in bolj intuitivno metodo. Za preverjanje vrednosti Sarrusovega pravila vzamemo katero koli matrico dimenzije 3:

Izračun njene determinante bi bil izveden s produktom njegovih glavnih diagonal, odštevanjem produkta obratnih diagonalov. To bi bilo naslednje:

Sarrusovo pravilo nam omogoča, da pri izračunu diagonale determinante pridobimo veliko lažji vid. Poenostavljeno bi bilo, če bi na zadnji strani matrice dodali prva dva stolpca. Na ta način je za izračun izdelka bolj jasno razvidno, katere so glavne diagonale in katere so inverzije.

Skozi to sliko lahko vidimo uporabo Sarrusovega pravila, pod grafično predstavitev začetne matrice vključimo vrstici 1 in 2. Na ta način so glavne diagonale tri diagonale, ki se pojavijo najprej.

Tri obratne diagonale so torej tiste, ki se pojavijo najprej zadaj.

Na ta način se diagonale prikazujejo na bolj vizualni način, ne da bi zapletale ločljivost determinante in skušale ugotoviti, kateri elementi matrike pripadajo vsaki diagonali.

Kot je prikazano na sliki, izberemo diagonale in izračunamo dobljeni produkt vsake funkcije. Diagonale, ki se pojavijo v modri barvi, so tiste, ki seštevajo. K vsoti teh odštejemo vrednost diagonal, ki se pojavijo v rdeči barvi.

Za lažje stiskanje lahko namesto algebrskih izrazov in podterme uporabimo numerični primer.

Če vzamemo na primer katero koli matrico 3 × 3:

Če želite uporabiti Sarrusovo pravilo in ga rešiti na bolj vizualni način, bi morali vključiti vrstici 1 in 2 kot vrstici 4 in 5. Pomembno je, da vrstico 1 obdržite na 4. mestu, 2. vrstico pa na 5. mestu. Ker jih bomo zamenjali, Sarrusovo pravilo ne bo učinkovito.

Za izračun determinante bi naša matrika bila naslednja:

Za nadaljevanje izračuna bomo pomnožili elemente glavnih diagonalov. Potomci, ki se začnejo z leve, bodo imeli pozitiven predznak; medtem ko imajo obratne diagonale, ki se začnejo z desne, negativen predznak.

V tem primeru bi modri imeli pozitiven znak, rdeči pa negativni. Končni izračun pravila Sarrus bi izgledal tako:

Vrste determinant

Determinanta dimenzije 1

Če je dimenzija matrice enaka 1, je matrica videti takole: A = (a)

Zato bi bila njegova določitev naslednja: det (A) = -A- = a

Če povzamemo, je determinanta matrice A enaka absolutni vrednosti matrike A, ki je v tem primeru a.

Determinanta dimenzije 2

Če preidemo na matrike dimenzije 2, dobimo matrike tipa:

Kadar je njegova determinanta opredeljena kot:

Ločljivost te determinante temelji na pomnožitvi njene glavne diagonale in odštevanjem produkta njene obratne diagonale.

Kot mnemoničen lahko uporabimo naslednji diagram, da se spomnimo njegove določitve:

Determinanta dimenzije 3

Če je dimenzija matrike 3, bi bila dobljena matrika te vrste:

Določitev te matrice bi bila s pomočjo Sarrusovega pravila rešena na ta način:

Reference

1. Jenny Olive (1998) Matematika: Vodnik za preživetje študentov. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) Matematika 30 sekund: 50 najbolj razširjenih teorij matematike. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
4. Awol Assen (2013) Študija o izračunavanju determinante matrike 3 × 3. Akademsko založništvo Lap Lambert
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinanti in matrice. Pass Publikacija.
6. Jesse Russell (2012) Vladavina Sarrusa.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Uvod v linearno algebro. Uredništvo ESIC.