TRANSCENDENTNE FUNKCIJE: VRSTE, DEFINICIJA, LASTNOSTI, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

V osnovnih funkcij transcendentalno so eksponentna, logaritemska, trigonometrične, krožna funkcija, hiperbolične in inverzne hiperbolične funkcije. To so tisti, ki jih ni mogoče izraziti s polinomom, količnikom polinoma ali koreninami polinoma.

Nemementarne transcendentne funkcije so znane tudi kot posebne funkcije in med njimi je mogoče imenovati funkcijo napake. Algebarske funkcije (polinomi, količniki polinomov in korenine polinomov) skupaj z osnovnimi transcendentalnimi funkcijami tvorijo tisto, kar v matematiki poznamo kot elementarne funkcije.

Transcendentne funkcije se štejejo tudi za tiste, ki so posledica operacij med transcendentnimi funkcijami ali med transcendentnimi in algebrskimi funkcijami. Te operacije so: vsota in razlika funkcij, produkt in količnik funkcij ter sestava dveh ali več funkcij.

Opredelitev in lastnosti

Eksponentna funkcija

Je resnična funkcija prave neodvisne spremenljivke obrazca:

f (x) = a ^ x = a ^x

kjer je a fiksno pozitivno realno število (a> 0), ki se imenuje osnova. Za označevanje potencirajoče operacije se uporablja cirkuflex ali nadkript.

Recimo a = 2, potem funkcija izgleda tako:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Katera bo ovrednotena za več vrednosti neodvisne spremenljivke x:

Spodaj je graf, kjer je za več vrednosti baze predstavljena eksponentna funkcija, vključno z bazo e (Neperjeva številka e ≃ 2,72). Osnova e je tako pomembna, da na splošno govorimo o eksponentni funkciji, ki jo mislimo na e ^ x, ki jo označimo tudi exp (x).

Slika 1. Eksponentna funkcija a ^ x za različne vrednosti osnove a. (Lastna izdelava)

Lastnosti eksponentne funkcije

Iz slike 1 lahko razberemo, da so domena eksponentnih funkcij realna števila (Dom f = R ) in da je obseg ali pot pozitivna vrednost (Ran f = R ⁺ ).

Po drugi strani vse eksponentne funkcije potekajo skozi točko (0, 1) in skozi točko (1, a), ne glede na vrednost baze a.

Ko je osnova a> 1, se funkcija povečuje in ko 0 <a <1 funkcija upada.

Krivulje y = a ^ x in y = (1 / a) ^ x so simetrične glede na os Y.

Z izjemo primera a = 1 je eksponentna funkcija injektivna, torej vsaki vrednosti slike ustreza ena in samo ena izhodiščna vrednost.

Logaritmična funkcija

Gre za resnično funkcijo resnične neodvisne spremenljivke, ki temelji na definiciji logaritma števila. Logaritem, ki temelji na številu x, je število y, na katero mora biti osnova, da dobimo argument x:

zabeleži _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

To pomeni, da temelji logaritem funkcija, ki temelji na obratni funkciji eksponentne funkcije.

Na primer:

log ₂ 1 = 0, saj je 2 ^ 0 = 1

Drug primer, dnevnik ₂ 4 = 2, ker je 2 ^ 2 = 4

Korenski logaritem 2 je log ₂ √2 = ½, ker je 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, saj je 2 ^ (- 2) = ¼

Spodaj je graf funkcije logaritma v različnih podlagah.

Slika 2. Eksponentna funkcija za različne vrednosti baze. (Lastna izdelava)

Lastnosti funkcije logaritma

Domena funkcije logaritma y (x) = log a (x) so pozitivna realna števila R + . Razpon potovanja ali so realne številke R .

Ne glede na osnovo funkcija logaritma vedno prehaja skozi točko (1,0) in točka (a, 1) spada v graf te funkcije.

V primeru, da je osnova a večja od enote (a> 1), se funkcija logaritma povečuje. Če pa je (0 <a <1), potem gre za upadajočo funkcijo.

Funkcije sinusa, kosinusa in tangenta

Sinusna funkcija dodeli realno število in vsaki x vrednosti, kjer x predstavlja merilo kota v radianih. Za pridobitev vrednosti Sen (x) kota je kot predstavljen v enotnem krogu, projekcija omenjenega kota na navpično os pa je sinus, ki ustreza temu kotu.

Trigonometrični krog in sinus za različne kotne vrednosti X1, X2, X3 in X4 so prikazani spodaj (na sliki 3).

Slika 3. Trigonometrični krog in sinus različnih kotov. (Lastna izdelava)

Določena na ta način je največja vrednost, ki jo lahko ima funkcija Sen (x) 1, ki nastane, kadar je x = π / 2 + 2π n, kjer je n celo število (0, ± 1, ± 2,). Najmanjša vrednost, ki jo lahko sprejme funkcija Sen (x), nastopi, ko je x = 3π / 2 + 2π n.

Funkcija kosinusa y = Cos (x) je definirana na podoben način, vendar se projekcija kotnih položajev P1, P2 itd. Izvaja na vodoravni osi trigonometričnega kroga.

Po drugi strani je funkcija y = Tan (x) količnik med sinusno in kosinusno funkcijo.

Spodaj je graf transcendentnih funkcij Sen (x), Cos (x) in Tan (x)

Slika 4. Graf transcendentnih funkcij, sinusa, kosinusa in tangenta. (Lastna izdelava)

Derivati ​​in integrali

Izvedba eksponentne funkcije

Izpeljanka y 'eksponentne funkcije y = a ^ x je funkcija a ^ x pomnožena z naravnim logaritmom osnove a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

V posebnem primeru baze e je derivat eksponentne funkcije sama eksponentna funkcija.

Sestavni del eksponentne funkcije

Neomejen integral ^ x je funkcija, deljena z naravnim logaritmom osnove.

V določenem primeru baze e je integral eksponentne funkcije sama eksponentna funkcija.

Tabela izpeljanih in integralov transcendentnih funkcij

Spodaj je pregledna tabela glavnih transcendentnih funkcij, njihovih derivatov in nedoločenih integralov (antideriva):

Tabela izpeljanih in nedoločenih integralov za nekatere transcendentne funkcije. (Lastna izdelava)

Primeri

Primer 1

Poiščite funkcijo, ki izhaja iz sestave funkcije f (x) = x ^ 3 s funkcijo g (x) = cos (x):

(megla) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Njen derivat in njegov nedoločen integral je:

Primer 2

Poiščite sestavo funkcije g s funkcijo f, kjer sta g in f funkcije, definirani v prejšnjem primeru:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Treba je opozoriti, da sestava funkcij ni komutativna operacija.

Izpeljanka in nedoločen integral za to funkcijo sta:

Integral je bil puščen, ker rezultata ni mogoče natančno zapisati kot kombinacijo osnovnih funkcij.

Reference

1. Izračun ene same spremenljivke. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
2. Teorem o implicitnih funkcijah: zgodovina, teorija in aplikacije. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. november. 2012
3. Multivarijabilna analiza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. dec. 2010
4. Dinamika sistema: modeliranje, simulacija in nadzor mehatronskih sistemov. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mar 2012
5. Izračun: Matematika in modeliranje. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. januarja 1999
6. wikipedia. Transcendentna funkcija. Pridobljeno: es.wikipedia.com