Logaritemsko funkcijo je matematično razmerje, ki povezuje vsakega pozitivnega realnega števila x z logaritmom y na izhodišče. Ta odnos ustreza zahtevam, da je funkcija: vsak element x, ki pripada domeni, ima edinstveno sliko.
Tako:
Ker je logaritem, ki temelji na številu x, število y, na katero je treba dvigniti bazo a, da dobimo x.
- Logaritem osnove je vedno 1. Torej graf f (x) = log a x vedno preseka os x v točki (1,0)
- Logaritmična funkcija je transcendentna in je ni mogoče izraziti kot polinom ali kot njen količnik. Ta skupina poleg logaritma vključuje trigonometrične funkcije in eksponentno.
Primeri
Logaritmično funkcijo lahko določimo z različnimi podlagami, vendar se najpogosteje uporabljata 10 in e, kjer je e Eulerjeva številka 2,71828….
Kadar se uporablja baza 10, se logaritem imenuje decimalni logaritem, navadni logaritem, Briggsov ali samo navaden logaritem.
In če je uporabljeno število e, ga imenujemo naravni logaritem, po Johnu Napierju, škotskem matematiku, ki je odkril logaritme.
Za vsako od njih je zapis:
-Decimalni logaritem: log 10 x = log x
-Neperski logaritem: ln x
Ko se bo uporabljala druga osnova, jo je nujno treba navesti kot podpis, saj je logaritem vsake številke različen, odvisno od baze, ki jo bomo uporabili. Če so na primer logaritmi v bazi 2, napišite:
y = log 2 x
Poglejmo logaritem številke 10 v treh različnih podlagah, da ponazorimo to točko:
dnevnik 10 = 1
ln 10 = 2,30259
dnevnik 2 10 = 3.32193
Običajni kalkulatorji prinašajo le decimalne logaritme (funkcija dnevnika) in naravni logaritem (funkcija ln). Na internetu obstajajo kalkulatorji z drugimi podlagami. V vsakem primeru lahko bralec s svojo pomočjo preveri, ali so izpolnjene prejšnje vrednosti:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Majhne decimalne razlike so posledica števila decimalnih mest, ki jih dobimo pri izračunu logaritma.
Prednosti logaritmov
Med prednostmi uporabe logaritmov je enostavnost, ki jo zagotavljajo za delo z velikimi številkami, in sicer namesto številke neposredno uporabljajo svoj logaritem.
To je mogoče, ker funkcija logaritma raste počasneje, ko se števila povečujejo, kot lahko vidimo na grafu.
Tudi pri zelo velikih številkah so njihovi logaritmi veliko manjši, manipuliranje z majhnimi številkami pa je vedno lažje.
Poleg tega imajo logaritmi naslednje lastnosti:
- Izdelek : log (ab) = log a + log b
- količnik : log (a / b) = log a - dnevnik b
- Moč : log a b = b.log a
Na ta način izdelki in količniki postanejo dodatek in odštevanje manjših številk, medtem ko opolnomočenje postane preprost izdelek, čeprav je moč velika.
Zato nam logaritmi omogočajo, da izrazimo številke, ki se razlikujejo v zelo velikih razponih vrednosti, kot so intenzivnost zvoka, pH raztopine, svetlost zvezd, električni upor in intenzivnost potresov po Richterjevi lestvici.
Slika 2. Logaritmi se uporabljajo za Richterjevo lestvico za količinsko določitev stopnje potresov. Slika prikazuje zrušeno stavbo v Concepciónu v Čilu med potresom 2010. Vir: Wikimedia Commons.
Poglejmo primer ravnanja z lastnostmi logaritmov:
Primer
Poiščite vrednost x v naslednjem izrazu:
Odgovori
Tu imamo logaritmično enačbo, saj je neznanka v argumentu logaritma. Rešimo ga tako, da na vsaki strani enakosti pustimo en logaritem.
Začnemo tako, da postavimo vse izraze, ki vsebujejo "x" na levi strani enakosti, in tiste, ki vsebujejo samo številke na desni:
log (5x + 1) - dnevnik (2x-1) = 1
Na levi strani imamo odštevanje dveh logaritmov, ki ju lahko zapišemo kot logaritem količnika:
log = 1
Vendar je na desni številka 1, ki jo lahko izrazimo kot dnevnik 10, kot smo videli prej. Torej:
log = dnevnik 10
Da je enakost resnična, morajo biti argumenti logaritmov enaki:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Vadba vloge: Richterova lestvica
Leta 1957 se je v Mehiki zgodil potres, katerega moč je bila 7,7 po Richterjevi lestvici. Leta 1960 se je v Čilu zgodil še en potres večje magnitude 9,5.
Izračunajte, kolikokrat je bil potres v Čilu bolj intenziven kot v Mehiki, saj vemo, da je magnituda M R po Richterjevi lestvici podana s formulo:
M R = dnevnik (10 4 I)
Rešitev
Razsežnost po potresni lestvici po Richterju je logaritmična funkcija. Izračunali bomo intenzivnost vsakega potresa, saj imamo Richterove magnitude. Naredimo to korak za korakom:
- Mehika : 7,7 = dnevnik (10 4 I)
Ker je obratna funkcija logaritma eksponentna, to uporabimo na obeh straneh enakosti z namenom reševanja za I, kar najdemo v argumentu logaritma.
Ker gre za decimalne logaritme, je osnova 10. Nato:
10 7,7 = 10 4 I
Intenzivnost potresa v Mehiki je bila:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Čile : 9,5 = log (10 4 I)
Isti postopek nas vodi do intenzivnosti čilskega potresa I Ch :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Zdaj lahko primerjamo obe intenzivnosti:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. I M
Potres v Čilu je bil približno 63-krat močnejši od tistega v Mehiki. Ker je magnituda logaritmična, raste počasneje kot intenziteta, zato razlika 1 v jakosti pomeni 10-krat večjo amplitudo potresnega vala.
Razlika med magnitudama obeh potresov je 1,8, zato lahko pričakujemo, da je razlika v intenzivnosti bližja 100 kot 10, kot se je dejansko zgodilo.
Če bi bila razlika natančno 2, bi bil čilski potres 100-krat bolj intenziven od mehiškega.
Reference
- Carena, M. 2019. Priročniški matematični priročnik. Nacionalna univerza Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznoliko leto. Izdaje CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
- Larson, R. 2010. Izračun spremenljivke. 9. Izdaja. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika za izračun. 5. Izdaja. Cengage Learning.