BIJEKTIVNA FUNKCIJA: KAJ JE, KAKO SE IZVAJA, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2025

Bijektivna funkcija je tista, ki izpolnjuje dvojni pogoj, da injektiven in surjekcija . To pomeni, da imajo vsi elementi domene eno kodo v sliki, kar pomeni, da je kodoma enaka rangu funkcije ( R _f ).

Izpolnjena je z upoštevanjem razmerja med seboj med elementi domene in kodoomeine. Preprost primer je funkcija F: R → R, določena s črto F (x) = x

Vir: Avtor

Opazimo, da je za vsako vrednost domene ali začetnega niza (oba izraza se uporabljata enako) ena sama slika v kodi domene ali nabora prihoda. Poleg tega ni nobenega elementa kodoma, razen slike.

Na ta način je F: R → R, opredeljen s črto F (x) = x, biektiven

Kako opravljate bijektivno funkcijo?

Da bi to odgovorili, da je potrebno, da bo jasno, o konceptih, ki se nanašajo na za vbrizgavanje in Overjectivity za funkcije , kot tudi merila za klimatske funkcije, da bi jih prilagodili zahtevam.

Injektivnost funkcije

Funkcija je injektivna, kadar je vsak element njene domene povezan z enim elementom kodomaine. Element kodne domene je lahko samo slika posameznega elementa domene, na ta način vrednosti odvisne spremenljivke ni mogoče ponoviti.

Če želite funkcijo upoštevati kot injektivno , morate izpolniti naslednje:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Surjektivnost funkcije

Funkcija je razvrščena kot surjektivna, če je vsak element njene kodne podobe vsaj en element domene.

Če želite upoštevati funkcijo surjective , morate izpolniti naslednje:

Naj bo F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

To je algebrski način, da se ugotovi, da za vsak "b", ki pripada C _f, obstaja "a", ki pripada D _f, tako da je funkcija, ocenjena v "a", enaka "b".

Funkcijsko kondicioniranje

Včasih je funkcija, ki ni bektivna, lahko podvržena določenim pogojem. Ti novi pogoji lahko postanejo bektivna funkcija. Veljavne so vse vrste sprememb domene in kodne domene funkcije, pri čemer je cilj izpolniti lastnosti injektivnosti in surjektivnosti v ustreznem razmerju.

Primeri: rešene vaje

Vaja 1

Funkcijo F: R → R določimo s črto F (x) = 5x +1

A:

Opazimo, da za vsako vrednost domene obstaja slika v kododini. Ta slika je edinstven zaradi česar F injektivna preslikava . Na enak način opazujemo, da je kodna funkcija funkcije enaka njenemu rangu. Tako izpolnjujejo pogoj surjektivnosti .

Ker smo hkrati injektivni in surjektivni, lahko to sklepamo

F: R → R, določena s črto F (x) = 5x +1, je biektivna funkcija.

To velja za vse linearne funkcije (funkcije, katerih najvišja stopnja spremenljivke je ena).

Vaja 2

Naj bo funkcija F: R → R definirana s F (x) = 3x ² - 2

Pri risanju vodoravne črte opazimo, da je graf najden večkrat. Zaradi tega funkcija F ni injektivna in zato ne bo bektivna , dokler je definirana v R → R

Podobno obstajajo vrednosti kodoomain, ki niso slike nobenega elementa domene. Zaradi tega funkcija ni surjektivna, kar si zasluži tudi pogojiti nastavljen prihod.

Nadaljujemo s pogojem domene in kodne funkcije funkcije

F: →

Če opazimo, da nova domena zajema vrednosti od nič do pozitivne neskončnosti. Izogibanje ponavljanju vrednosti, ki vplivajo na injektivnost.

Prav tako je spremenjena kodomaina, ki šteje od "-2" do pozitivne neskončnosti, iz kododomene pa izloči vrednosti, ki niso ustrezale nobenemu elementu domene

Na ta način je mogoče zagotoviti, da je F : → definirano s F (x) = 3x ² - 2

Je bijektivna

Vaja 3

Naj bo funkcija F: R → R definirana s F (x) = Sen (x)

V intervalu sinusna funkcija spreminja svoje rezultate med nič in eno.

Vir: Avtor.

Funkcija F ne ustreza merilom injektivnosti in surjektivnosti, saj se vrednosti odvisne spremenljivke ponavljajo vsak interval π. Poleg tega izrazi kodoma izven intervala niso slika nobenega elementa domene.

Ko preučujemo graf funkcije F (x) = Sen (x) , opazimo intervale, kjer obnašanje krivulje izpolnjuje merila bijektivnosti . Kot je na primer interval D _f = za domeno. In C _f = za kododo.

Kadar se funkcija spreminja, je rezultat od 1 do -1, ne da bi v odvisni spremenljivki ponovili nobeno vrednost. In hkrati je kododoma enaka vrednostim, ki jih sprejme izraz Sen (x)

Tako je funkcija F: → definirana s F (x) = Sen (x). Je bijektivna

Vaja 4

Navedite potrebne pogoje za D _f in C _f . Torej izraz

F (x) = -x ² je biaktiven.

Vir: Avtor

Ponavljanje rezultatov opazimo, kadar spremenljivka sprejme nasprotne vrednosti:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domena je pogojena in jo omejuje na desno stran realne črte.

D _f =

Na enak način opazimo, da je območje te funkcije interval, ki pri delovanju kot kodoma izpolnjuje pogoje surjektivnosti.

Na ta način lahko to sklepamo

Izraz F: → opredeljen s F (x) = -x ² Je bijektiven

Predlagane vaje

Preverite, ali so naslednje funkcije bijektivne:

F: → R, definirano s F (x) = 5ctg (x)

F: → R, definirano s F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R, določena s črto F (x) = -5x + 4

Reference

1. Uvod v logiko in kritično razmišljanje. Merrilee H. Salmon. Univerza v Pittsburghu
2. Problemi pri matematični analizi. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Univerza v Vroclavu Na Poljskem.
3. Elementi abstraktne analize. Mícheál O'Searcoid, dr. Oddelek za matematiko. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Uvod v logiko in metodologijo deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Univerza v Oxfordu.
5. Načela matematične analize. Enrique Linés Escardó. Uredništvo Reverté S. A 1991. Barcelona, ​​Španija.