- Kako priti do premera?
- Številke s konstantno širino
- Premer oboda
- - Primer 1
- Rešitev za
- Rešitev b
- Rešitev c
- - Primer 2
- Rešitev
- Koliko premerov ima obseg?
- Reference
Premer je premica, ki poteka skozi središče zaprte ploske krivulje ali slika v dveh ali treh dimenzijah in ki združuje tudi njene nasprotne točk. Običajno je to krog (ravna krivulja), krog (ravna figura), krogla ali desni krožni valj (tridimenzionalni predmeti).
Čeprav se obod in krog običajno vzameta kot sopomenki, obstaja razlika med obema izrazoma. Obod je zaprta krivulja, ki obkroži krog, ki izpolnjuje pogoj, da je razdalja med katero koli od njegovih točk in središča enaka. Ta razdalja ni nič drugega kot polmer oboda. Namesto tega je krog ravna figura, omejena z obodom.
Slika 1. Premer kolesnih koles je pomembna značilnost njihove zasnove. Vir: Pixabay.
Pri obodu, krogu in krogli je premer raven segment, ki vsebuje vsaj tri točke: sredino plus dve točki roba oboda ali kroga ali površino krogle.
Kar se tiče pravega krožnega valja, se premer nanaša na prerez, ki sta skupaj z višino njegova dva značilna parametra.
Premer oboda in kroga, ki ga simbolizira ø ali preprosto črka "D" ali "d", je povezan z njegovim obodom, konturo ali dolžino, ki ga označimo s črko L:
L = π.D = π. ali
Kadar koli je obod, je količnik med njegovo dolžino in premerom iracionalno število π = 3,14159…, na naslednji način:
π = L / D
Kako priti do premera?
Ko imate narisano obod ali krog ali neposredno krožni predmet, na primer kovanec ali obroč, je premer z ravnilom zelo enostavno najti. Prepričati se morate le, da se rob ravnila dotakne dveh točk oboda in njegovega središča hkrati.
Kaliper, vernier ali kaliper je zelo primeren za merjenje zunanjih in notranjih premerov na kovancih, obročih, obročih, maticah, ceveh in še več.
Slika 2. Digitalni vernier, ki meri premer kovanca. Vir: Pixabay.
Če namesto predmeta ali njegove risbe imamo podatke, kot je polmer R, potem pomnožimo z 2, imamo premer. Če je znana dolžina ali obod oboda, lahko premer ugotovite tudi s prečkanjem:
Drug način iskanja premera je poznavanje območja kroga, sferične površine, preseka valja, ukrivljenega območja valja ali volumnov krogle ali valja. Vse je odvisno od tega, kakšna geometrijska figura je. Premer je na primer vključen v naslednja področja in količine:
-Okrog kroga : π. (D / 2) 2
-območje kroglaste površine : 4π. (D / 2) 2
-Volnost krogle : (4/3) π. (D / 2) 3
-Vsebina desni krožni valj : π. (D / 2) 2 .H (H je višina valja)
Številke s konstantno širino
Krog je ravna figura stalne širine, saj kamor koli ga pogledate, je širina premera D. Vendar obstajajo druge morda manj znane številke, katerih širina je prav tako konstantna.
Najprej poglejmo, kaj se razume s širino slike: je razdalja med dvema vzporednima črtama - podpornimi črtami -, ki sta pravokotni na dano smer in zapirata figuro, kot je prikazano na levi sliki:
Slika 3. Širina katere koli ploščate figure (levo) in Reuleauxovega trikotnika, številka stalne širine (desno). Vir: F. Zapata.
Na desni strani je trikotnik Reuleaux, ki je figura konstantne širine in izpolnjuje pogoj, določen na levi sliki. Če je širina slike D, je njen obod podan po Barbierjevem izreku:
L = π.D
Kanalizacije mesta San Francisco v Kaliforniji so oblikovane kot trikotnik Reuleaux, imenovan po nemškem inženirju Franzu Reuleauxu (1829 - 1905). Na ta način pokrovi ne morejo pasti skozi luknjo in za njihovo izdelavo se porabi manj materiala, saj je njihova površina manjša od površine kroga:
A = (1- √3) .πD 2 = 0.705.D 2
Medtem ko za krog:
A = π. (D / 2) 2 = (π / 4) D 2 = 0,785. D 2
Toda ta trikotnik ni edina številka s konstantno širino. Lahko sestavite tako imenovane Reuleaux poligone z drugimi poligoni, ki imajo liho število strani.
Premer oboda
Na naslednji sliki so elementi kroga, definirani na naslednji način:
Akord : linijski segment, ki se na obodu pridruži dve točki. Na sliki je akord, ki združuje točki C in D, lahko pa narišemo neskončne akorde, ki se pridružijo kateremu koli paru točk oboda.
Premer : to je akord, ki gre skozi sredino, ki povezuje dve točki oboda s središčem O. Je najdaljša akord oboda, zato se imenuje "glavni akord".
Polmer : linijski segment, ki se pridruži središču s katero koli točko oboda. Njegova vrednost, tako kot premer, je konstantna.
Obod : je množica vseh točk, enakomerno oddaljenih od O.
Lok : je opredeljen kot odsek oboda, ločen z dvema polmerom (na sliki ni narisan).
Slika 4. Deli oboda, vključno s premerom, ki poteka skozi sredino. Vir: Wikimedia Commons.
- Primer 1
Prikazani pravokotnik je visok 10 centimetrov, ki pri valjanju tvori desni krožni valj, katerega premer je 5 centimetrov. Odgovorite na naslednja vprašanja:
Slika 5. Zvit pravokotnik postane pravi krožni valj. Vir: Jiménez, R. Matematika II. Geometrija in trigonometrija. 2. Izdaja. Pearson.
a) Kakšna je kontura cevi?
b) Poiščite območje pravokotnika
c) Poiščite območje prečnega prereza valja.
Rešitev za
Obris cevi je L = π.D = 5π in = 15,71 inča.
Rešitev b
Površina pravokotnika je osnovna x višina, pri čemer je osnova L že izračunana, višina pa je 10 palcev v skladu s stavkom, torej:
A = 15,71 v x 10 in = 157,1 v 2 .
Rešitev c
Končno se zahtevano območje izračuna takole:
A = π. (D / 2) 2 = (π / 4) D 2 = (π / 4) x (5 pal .) 2 = 19,63 palca 2 .
- Primer 2
Izračunajte senčeno območje na sliki 5a. Kvadrat ima stran L.
Slika 6. Poiščite senčeno območje na levi sliki. Jiménez, R. Matematika II. Geometrija in trigonometrija. 2. Izdaja. Pearson.
Rešitev
Na sliki 5b sta v roza in modri barvi narisana dva enako velika polkroga, ki sta naslonjena na prvotno sliko. Med njimi naredijo popoln krog. Če najdete območje kvadrata in odštejete območje kroga, naredite zasenčeno območje na sliki 5b. In če pogledamo natančno, se izkaže, da je polovica zasenčenega območja v 5a.
-Kvadratna površina: L 2-
premer polkroga: L
-območje kroga: π. (L / 2) 2 = (π / 4) L 2
-razlika površin = polovica zasenčene površine =
L 2 - (π / 4) L 2 = L 2 = 0,2146 L 2
-Osenčena površina = 2 x 0,2146 L 2 = 0,4292L2
Koliko premerov ima obseg?
Na krogu lahko narišete neskončne premere in kateri koli od njih meri enako.
Reference
- Antonio. Reuleaux trikotniki in druge krivulje konstantne širine. Pridobljeno: divulgators.com.
- Baldor, A. 2002. Ravna in geometrija planeta in trigonometrija. Kulturna skupina Patria.
- Jiménez, R. Matematika II. Geometrija in trigonometrija. 2. Izdaja. Pearson.
- Wikipedija. Reuleaux trikotnik. Pridobljeno: es.wikipedia.org.
- Wolfram MathWorld. Premer. Pridobljeno: mathworld.wolfram.com.