ELASTIČNI UDARCI: V ENI DIMENZIJI, POSEBNI PRIMERI, VAJE - FIZIČNO - 2025

Na prožni trk ali prožni trk so kratki, a intenzivne interakcije med predmeti, v katerem so ohranjeni tako zagon in kinetična energija. Trki so v naravi zelo pogosti dogodki: od subatomskih delcev do galaksij, do biljardnih žog in odbijačev v zabaviščnih parkih, vse to so predmeti, ki se lahko trčijo.

Med trčenjem ali trčenjem so sile interakcije med predmeti zelo močne, veliko več kot tiste, ki lahko delujejo zunaj. Na ta način lahko ugotovimo, da delci med trčenjem tvorijo izoliran sistem.

Trčenja z biljardno žogo se lahko štejejo za elastične. Vir: Pixabay.

V tem primeru je res, da:

Zagon P _o pred trkom je enak kot po trčenju. To velja za vsako vrsto trka, tako elastičnega kot neelastičnega.

Zdaj razmislite o naslednjem: med trčenjem se predmeti podvržejo določeni deformaciji. Ko je šok elastičen, se predmeti hitro povrnejo v prvotno obliko.

Ohranjanje kinetične energije

Med trkom običajno del energije porabijo za toploto, deformacijo, zvok in včasih celo za proizvodnjo svetlobe. Torej je kinetična energija sistema po trčenju manjša od prvotne kinetične energije.

Ko se ohrani kinetična energija K, potem:

Kar pomeni, da so sile, ki delujejo med trkom, konzervativne. Med trčenjem se kinetična energija za kratek čas pretvori v potencialno energijo in nato nazaj v kinetično energijo. Kinetične energije se razlikujejo, vsota pa ostane konstantna.

Popolnoma elastični trki so redki, čeprav so biljardne kroglice dober dober približek, prav tako trki med molekulami idealnega plina.

Elastični udarci v eni dimenziji

Preučimo trk dveh delcev tega v eni sami dimenziji; to pomeni, da se medsebojni delci gibljejo, recimo, po osi x. Recimo, da imata mas m ₁ in m ₂ . Začetne hitrosti vsake so u _{1 in} u ₂ . Končni hitrosti sta v ₁ in v ₂ .

Lahko storimo brez vektorske notacije, saj se gibanje izvaja vzdolž osi x, vendar znaka (-) in (+) kažeta smer gibanja. Na levi strani je negativno, na desni pa pozitivno.

-Formula za elastične trke

Za količino gibanja

Za kinetično energijo

Dokler so znane mase in začetne hitrosti, je mogoče enačbe prerazporediti, da bi našli končne hitrosti.

Težava je v tem, da je načeloma treba izvesti nekoliko precej dolgočasne algebre, saj enačbe za kinetično energijo vsebujejo kvadrat hitrosti, zaradi česar je izračun malce težaven. Idealno bi bilo najti izraze, ki jih ne vsebujejo.

Prvi je, da odpustimo faktor ½ in obe enačbi preuredimo tako, da se pojavi negativni znak in faktorji se lahko upoštevajo:

Izraženo na ta način:

Poenostavitev za odpravo kvadratov hitrosti

Zdaj moramo uporabiti vsoto opaznega izdelka z njegovo razliko v drugi enačbi, s katero dobimo izraz, ki ne vsebuje kvadratov, kot smo prvotno želeli:

Naslednji korak je zamenjava prve enačbe z drugim:

In ker se izraz m ₂ (v ₂ - u ₂ ) ponavlja na obeh straneh enakosti, se omenjeni izraz prekliče in ostane tak:

Ali še bolje:

Končne hitrosti v

Zdaj imate dve linearni enačbi, s katerima je lažje delati. Vrnili jih bomo eno pod drugo:

Pomnožitev druge enačbe z m ₁ in dodajanje izraza v izraz:

In že je mogoče razčistiti v ₂ . Na primer:

Posebni primeri pri elastičnih trkih

Zdaj, ko so na voljo enačbe za končne hitrosti obeh delcev, je čas za analizo nekaterih posebnih situacij.

Dve identični masi

V tem primeru m ₁ = m ₂ = moj:

Delci po trčenju preprosto izmenjajo svoje hitrosti.

Dve identični masi, od katerih je bila ena sprva v mirovanju

Zopet m ₁ = m ₂ = m in ob predpostavki, da je u ₁ = 0:

Po trčenju delček, ki je bil v mirovanju, pridobi enako hitrost kot delček, ki se je premikal, in ta se nato ustavi.

Dve različni masi, ena od njih sprva v mirovanju

V tem primeru predpostavimo, da je u ₁ = 0, mase pa so različne:

Kaj če je m ₁ veliko večji od m ₂ ?

Dogaja se, da je m ₁ še v mirovanju, m _{2 pa} se vrne z isto hitrostjo, s katero je vplival.

Koeficient restitucije ali Huygens-Newtonovo pravilo

Prej je bilo za hitrost dveh objektov v elastičnem trku ugotovljeno naslednje razmerje med hitrostmi: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Te razlike so relativne hitrosti pred trčenjem in po njem. Na splošno velja za trčenje:

Koncept relativne hitrosti je najbolj cenjen, če si bralec predstavlja, da je na enem od delcev in s tega položaja opazuje hitrost, s katero se giblje drugi delček. Zgornja enačba je napisana tako:

Rešene vaje

-Rešena vaja 1

Biljardna žogica se premika v levo s hitrostjo 30 cm / s in trči v glavo z drugo identično žogo, ki se premika v desno pri 20 cm / s. Dve kroglici imata enako maso in trčenje je popolnoma elastično. Poiščite hitrost vsake žoge po udarcu.

Rešitev

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

To je poseben primer, ko dve enaki masi trčno trčita v eno dimenzijo, zato se hitrosti izmenjujejo.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Rešena vaja 2

Koeficient vrnitve žoge, ki odbija od tal, je enak 0,82. Če pade iz počitka, kolikšen del svoje prvotne višine bo krogla dosegla po enkratnem poskakovanju? In po 3 skoke?

Žoga odbije trdno površino in z vsakim odbijanjem izgubi višino. Vir: self made.

Rešitev

Tla so lahko enačba 1 v enačbi za koeficient restitucije. In vedno ostane v mirovanju, tako da:

S to hitrostjo odskoči:

Znak + pomeni, da gre za naraščajočo hitrost. V skladu s tem žoga doseže največjo višino:

Zdaj se spet vrne na tla s hitrostjo enake velikosti, a nasprotnim znakom:

Tako se doseže največja višina:

Vrnite se na tla s:

Zaporedni skoki

Vsakič, ko žoga odskoči in naraste, hitrost znova pomnožite z 0,82:

V tem trenutku je h ₃ približno 30% h _o . Kakšna bi bila višina do 6. odskoka, ne da bi bilo treba narediti tako podrobne izračune kot prejšnji?

Bilo bi h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o le 9% h _o .

-Rešena vaja 3

300-g blok se giblje proti severu s hitrostjo 50 cm / s in trči z blokom 200 g, ki vodi proti jugu s hitrostjo 100 cm / s. Predpostavimo, da je šok popolnoma elastičen. Poiščite hitrosti po udarcu.

Podatki

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Rešena vaja 4

Masa m ₁ = 4 kg se sprosti iz označene točke na progi brez trenja, dokler v mirovanju ne trči z m ₂ = 10 kg. Kako visoko se po trku dvigne m ₁ ?

Rešitev

Ker trenja ni, se mehanska energija ohrani pri iskanju hitrosti u _1, s katero m ₁ doseže m _2. Sprva je kinetična energija 0, saj se m ₁ začne iz mirovanja. Ko se premika po vodoravni površini, nima višine, zato je potencialna energija 0.

Zdaj se izračuna hitrost m ₁ po trku:

Negativni znak pomeni, da je bil vrnjen. S to hitrostjo se povzpne in mehanska energija se ponovno ohrani, da najde h ', višino, do katere se po trčenju uspe povzpeti:

Upoštevajte, da se na 8 m višine ne vrne na izhodišče. Nima dovolj energije, ker se je masa m ₁ odrekla delu svoje kinetične energije _.

Reference

1. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela z aplikacijami. 6. ^st . Dvorana Ed Prentice. 175-181
2. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Osnove fizike. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Fizika za znanost in tehnologijo. 5. izdaja zvezek 1. Uredniški zbornik. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fizika: pojmi in aplikacije. 7. izdaja MacGraw Hill. 185-195