LASTNOST KLJUČAVNICE ALGEBRA: DOKAZ, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Lastnost blokade algebre je pojav, ki povezuje dva elementa niza z operacijo, pri čemer je potreben pogoj, da po obdelavi dveh elementov v omenjeni operaciji rezultat spada tudi v začetni niz.

Če na primer vzamemo parna števila kot niz in vsoto kot operacijo, dobimo zaklep tega niza glede na vsoto. To je zato, ker bo vsota dveh parnih števil vedno prinesla še eno parno število in tako izpolnilo pogoj zaklepanja.

Vir: unsplash.com

značilnosti

Obstaja veliko lastnosti, ki določajo algebarske prostore ali telesa, na primer strukture ali obroče. Kljub temu je lastnost ključavnice ena najbolj znanih v osnovni algebri.

Vse aplikacije teh lastnosti ne temeljijo na numeričnih elementih ali pojavih. Mnogo vsakdanjih primerov je mogoče delati iz čistega algebraično-teoretičnega pristopa.

Primer so lahko državljani države, ki prevzamejo kakršno koli pravno razmerje, na primer trgovinsko partnerstvo ali sklenitev zakonske zveze. Po izvedbi te operacije ali upravljanja ostanejo državljani države. Na ta način državljanstvo in upravljanje v zvezi z dvema državljanoma predstavljata ključavnico.

Numerična algebra

Glede številk obstaja veliko vidikov, ki so bili predmet preučevanja v različnih tokovih matematike in algebre. Iz teh raziskav se je pojavilo veliko število aksiomov in izrek, ki služijo kot teoretična podlaga za sodobno raziskovanje in delo.

Če delamo z numeričnimi množicami, lahko za lastnost zaklepanja vzpostavimo drugo veljavno definicijo. Za niz A naj bi bilo ključavnica drugega niza B, če je A najmanjši niz, ki vsebuje vse nize in operacije, ki jih vsebuje B.

Demonstracija

Dokaz zaklepanja se uporablja za elemente in operacije, ki so prisotni v množici realnih števil R.

Naj bosta A in B dve številki, ki pripadata množici R, je zaprtje teh elementov določeno za vsako operacijo, ki jo vsebuje R.

Vsota

- Vsota: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

To je algebrski način, da rečemo, da pri vseh A in B, ki spadata med realna števila, imamo, da je vsota A plus B enaka C, ki pripada tudi dejanskim.

Preveriti je, ali je ta predlog resničen; dovolj je, da opravite vsoto med katerim koli dejanskim številom in preverite, če rezultat spada tudi med realna števila.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Opazimo, da je pogoj zaklepanja izpolnjen za realna števila in vsoto. Na ta način je mogoče sklepati: Vsota resničnih števil je algebrska ključavnica.

Množenje

- množenje: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Pri vseh A in B, ki spadata v resnice, imamo, da je množenje A na B enako C, ki pripada tudi dejanskim.

Pri preverjanju z istimi elementi prejšnjega primera se upoštevajo naslednji rezultati.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

To je dovolj dokazov, da lahko sklepamo, da: Množenje resničnih števil je algebrska ključavnica.

To opredelitev lahko razširimo na vse operacije realnih števil, čeprav bomo našli določene izjeme.

Vir: pixabay.com

Posebni primeri v R

Divizije

Prvi poseben primer je delitev, kjer je vidna naslednja izjema:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Za vse A in B, ki pripadajo R, imamo, da A med B ne spada v reals, če in samo, če je B enak nič.

Ta primer se nanaša na omejitev, da ne moremo razdeliti na nič. Ker nič pripada dejanskim številom, potem sledi: delitev ni ključavnica na reals.

Vložitev

Obstajajo tudi potencialne operacije, natančneje radikalizacije, kjer so predstavljene izjeme za radikalne moči enakomernega indeksa:

Za vse A, ki pripadajo resnicam, n-koren A pripada resnicam, če in samo, če A pripada pozitivnim resnicam, pridruženim množici, katere edini element je nič.

Na ta način označujemo, da enakomerne korenine veljajo samo za pozitivne reals in sklenemo, da potenciacija ni zaklepanje v R.

Logaritem

Na homologen način je razvidno za logaritmično funkcijo, ki ni definirana za vrednosti, ki so nižje ali enake nič. Če želite preveriti, ali je logaritem ključavnica R, nadaljujte na naslednji način:

Pri vseh A, ki spadajo v resnice, logaritem A sodi med resnice, če in samo, če A spada v pozitivne resnice.

Če izključimo negativne vrednosti in nič, ki prav tako pripadajo R, lahko trdimo, da:

Logaritem ni ključavnica resničnih števil.

Primeri

Preverite ključavnico za seštevanje in odštevanje naravnih števil:

Vsota v N

Prva stvar je preveriti stanje zaklepanja za različne elemente danega niza, če pa opazimo, da se nek element prelomi s pogojem, se obstoj ključavnice lahko samodejno zavrne.

Ta lastnost velja za vse možne vrednosti A in B, kot je razvidno iz naslednjih operacij:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Ni naravnih vrednosti, ki bi pokvarile stanje zaklepanja, zato se sklene:

Vsota je zaklepanje v N.

Odštejte v N

Iščejo se naravni elementi, ki lahko porušijo stanje; A - B pripada domorodcem.

Z uporabo je enostavno najti pare naravnih elementov, ki ne izpolnjujejo pogojev zaklepanja. Na primer:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Na ta način lahko ugotovimo, da:

Odštevanje ni ključavnica na množici naravnih števil.

Predlagane vaje

1 - Pokažite, ali je lastnost zaklepanja izpolnjena za množico racionalnih števil Q, za seštevanje operacij, odštevanje, množenje in deljenje.

2-Pojasni, če je niz resničnih števil ključav množice celih števil.

3-Določite, kateri numerični niz je lahko zaklepanje realnih števil.

4-Dokažite lastnost ključavnice za množico namišljenih števil glede na seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje.

Reference

1. Panorama čiste matematike: izbira Bourbakista. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Teorija algebričnih števil Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Nacionalna avtonomna univerza v Mehiki, 1975.
3. Linearna algebra in njene aplikacije. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebarske strukture V: teorija telesa. Hektor A. Merklen. Organizacija ameriških držav, Generalni sekretariat, 1979.
5. Uvod v komutativno algebro. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.