TRANSCENDENTNE ŠTEVILKE: KAJ SO, FORMULE, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2025

Na številke transcendentalni so tisti, ki ne more biti pridobljena kot je posledica polinomsko enačbo. Nasprotno od transcendentnega števila je algebrsko število, ki so rešitve polinomske enačbe tipa:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Kjer so koeficienti a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , ₀ so racionalna števila, ki jih imenujemo koeficienti polinoma. Če je število x rešitev prejšnje enačbe, potem to število ni transcendentno.

Slika 1. Dva števila, ki so v znanosti zelo pomembna, so transcendentna števila. Vir: publicdomainpictures.net.

Analizirali bomo nekaj številk in videli, ali so transcendentne ali ne:

a) 3 ni transcendentna, ker je rešitev x - 3 = 0.

b) -2 ne more biti transcendentna, ker gre za rešitev x + 2 = 0.

c) ⅓ je raztopina 3x - 1 = 0

d) Rešitev enačbe x ² - 2x + 1 = 0 je √2 -1, tako da to število po definiciji ni transcendentno.

e) Niti ni √2, ker je rezultat enačbe x ² - 2 = 0. Z uštevanjem √2 dobimo 2, ki odštejemo od 2, ki je enako nič. Torej je √2 iracionalno število, vendar ni transcendentno.

Kaj so transcendentne številke?

Težava je v tem, da ni splošnega pravila za njihovo pridobivanje (povedali bomo pot pozneje), nekaj najbolj znanih pa sta številka pi in Neperjeva številka, označena z: π in e.

Število π

Število π se naravno pojavi, če opazimo, da matematični količnik med obodom P krožnice in njegovim premerom D, ne glede na to, ali gre za majhen ali velik krog, vedno poda isto število, imenovano pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

To pomeni, da če je premer oboda vzet kot merska enota, za vse, velike ali majhne, ​​bo obod vedno P = 3,14… = π, kot je razvidno iz animacije na sliki 2.

Slika 2. Dolžina oboda kroga je pi enaka dolžini premera, pri čemer je pi približno 3,1416.

Za določitev več decimalk je treba izmeriti P in D z večjo natančnostjo in nato izračunati količnik, kar je bilo opravljeno matematično. Zaključek je, da decimeri količnika nimajo konca in se nikoli ne ponovijo, zato je število π poleg tega, da je transcendentno, tudi neracionalno.

Iracionalno število je število, ki ga ni mogoče izraziti kot delitev dveh celih števil.

Znano je, da je vsako transcendentno število iracionalno, ni pa res, da so vsa iracionalna števila transcendentna. Na primer, √2 je iracionalen, vendar ni transcendenten.

Slika 3. Transcendentne številke so iracionalne, vendar obratno ni res.

Število e

Transcendentno število e je osnova naravnih logaritmov in njegov decimalni približek je:

in ≈ 2.718281828459045235360….

Če bi želeli natančno napisati številko e, bi bilo treba napisati neskončne decimalke, saj je vsako transcendentno število neracionalno, kot je bilo rečeno prej.

Prvih deset števk e je enostavno zapomniti:

2,7 1828 1828 in čeprav se zdi, da sledi ponavljajočemu vzorcu, to ni mogoče doseči z decimalnimi mesti več kot devet.

Formalnejša opredelitev e je naslednja:

To pomeni, da natančno vrednost e dobimo z izvajanjem operacije, navedene v tej formuli, ko se naravno število n teži v neskončnost.

To pojasnjuje, zakaj lahko dobimo le približke e, saj ne glede na to, kako veliko je število n, vedno lahko najdemo večje n.

Poglejmo si nekaj približkov sami:

-Ko je n = 100, potem (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, kar v prvi decimalki komaj sovpada z "resnično" vrednostjo e.

-Če izberete n = 10.000, imate (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, kar sovpada s "natančno" vrednostjo e v prvih treh decimalnih mestih.

Temu procesu bi morali slediti neskončno, da bi dobili "resnično" vrednost e. Mislim, da nimamo časa za to, ampak poskusimo še eno:

Uporabimo n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2.7182682372

Vsebuje samo štiri decimalna mesta, ki ustrezajo vrednosti, ki se šteje za natančno.

Pomembno je razumeti, da kolikor višja je vrednost n izbrana za izračun e _n , tem bližje bo resnični vrednosti. Toda resnično vrednost bo imela le, če je n neskončno.

Slika 4. Grafično je prikazano, kako višja je vrednost n, bližje je e, a da bi prišli do natančne vrednosti n, mora biti neskončno.

Druge pomembne številke

Poleg teh znanih številk obstajajo tudi druge transcendentne številke, na primer:

- 2 ^√2

-Številka Champernowne v bazi 10:

C_10 = 0,112456789101112131415161718192021….

-Številka Champernowne v bazi 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Gama številka γ ali Euler-Mascheronova konstanta:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Kar dobimo z naslednjim izračunom:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Kajti ko je n zelo zelo velik. Če želite imeti natančno vrednost Gama-števila, bi bilo treba izračun opraviti z n neskončnostjo. Nekaj ​​podobnega, kot smo storili zgoraj.

In obstaja veliko več transcendentnih števil. Veliki matematik Georg Cantor, rojen v Rusiji in živel med letoma 1845 in 1918, je pokazal, da je nabor transcendentnih števil veliko večji od množice algebričnih števil.

Formule, kjer se pojavi transcendentno število π

Obod oboda

P = π D = 2 π R, kjer je P obod, D premer in R polmer oboda. Ne pozabite, da:

- premer oboda je najdaljši segment, ki združuje dve isti točki in vedno poteka skozi njegovo sredino,

-V polmer je pol premera in je segment, ki gre od središča do roba.

Območje kroga

A = π R ² = ¼ π D ²

Površina krogle

S = 4 π R ^2.

Da, čeprav se morda ne zdi tako, je površina krogle enaka površini štirih krogov istega polmera kot krogla.

Obseg krogle

V = 4/3 π R ³

Vaje

- Vaja 1

Picerija "EXÓTICA" prodaja pice treh premerov: majhne 30 cm, srednje 37 cm in velike 45 cm. Fant je zelo lačen in spoznal je, da dve majhni pici staneta enako kot ena velika. Kaj bo bolje zanj, če bo kupil dve majhni pizzi ali eno veliko?

Slika 5. - Površina pice je sorazmerna s kvadratom polmera, pi pa konstanta sorazmernosti. Vir: Pixabay.

Rešitev

Večja kot je površina, večja je količina pice, zato se izračuna velikost pice in primerja s površino dveh majhnih pizz:

Površina velike pice = ¼ π D ² = ¼ .143.1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Površina majhne pice = ¼ π d ² = ¼ .143.1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Zato imata dve majhni pizzi površino

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Jasno je: večjo količino pice boste imeli tako, da boste kupili eno veliko več kot dve majhni.

- Vaja 2

Picerija "EXÓTICA" prodaja tudi polkrožno pico s polmerom 30 cm po isti ceni kot pravokotno takšno, ki meri 30 x 40 cm na vsaki strani. Katerega bi izbrali?

Slika 6. - Površina poloble je dvakrat večja od krožne površine baze. Vir: F. Zapata.

Rešitev

Kot je bilo omenjeno v prejšnjem razdelku, je površina krogle štirikrat večja od kroga istega premera, tako da ima polkrog premera 30 cm:

Polsferna pica 30 cm: 1413,72 cm ² (dvakrat krog enakega premera)

Pravokotna pica: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Polovica pice ima večje območje.

Reference

1. Fernández J. Število e. Poreklo in radovednosti. Pridobljeno od: soymatematicas.com
2. Uživajte v matematiki. Eulerjeva številka. Pridobljeno od: enjolasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznoliko. Izdaje CO-BO.
4. García, M. Število e v osnovnem računu. Pridobljeno: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedija. PI številka. Pridobljeno: wikipedia.com
6. Wikipedija. Transcendentne številke. Pridobljeno: wikipedia.com