RACIONALNE ŠTEVILKE: LASTNOSTI, PRIMERI IN OPERACIJE - MATEMATIKA - 2025

V racionalnih števil so vse številke je mogoče dobiti delitve dveh celih števil. Primeri racionalnih števil so 3/4, 8/5, -16/3 in tisti, ki so prikazani na naslednji sliki. V racionalnem številu je naveden količnik, ki ga je mogoče storiti pozneje, če bo potrebno.

Slika predstavlja kateri koli predmet, okrogel za večje udobje. Če ga želimo razdeliti na 2 enaka dela, tako kot na desni, imamo levi dve polovici in vsaka je vredna 1/2.

Slika 1. Racionalne številke se uporabljajo za delitev celote na več delov. Vir: Freesvg.

Če ga razdelimo na 4 enake dele, bomo dobili 4 kose in vsak je vreden 1/4, kot je na sliki v središču. In če ga je treba razdeliti na 6 enakih delov, bi bil vsak del vreden 1/6, kar vidimo na sliki na levi strani.

Seveda bi ga lahko razdelili tudi na dva neenaka dela, na primer lahko bi obdržali 3/4 dela in shranili 1/4 dela. Možne so tudi druge delitve, na primer 4/6 delov in 2/6 delov. Pomembno je, da je vsota vseh delov enaka.

Na ta način je razvidno, da z racionalnimi števili lahko delite, preštejete in razdelite stvari, kot so hrana, denar, zemlja in vse vrste predmetov v frakcijah. In tako se poveča število operacij, ki jih je mogoče opraviti s številkami.

Racionalne številke lahko izrazimo tudi v decimalni obliki, kot je razvidno iz naslednjih primerov:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333….

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Kasneje bomo s primeri navedli, kako preiti iz enega obrazca v drugega.

Lastnosti racionalnih števil

Racionalne številke, katerih niz bomo označili s črko Q, imajo naslednje lastnosti:

-Q vključuje naravna števila N in cela števila Z.

Ob upoštevanju, da je poljubno število a mogoče izraziti kot količnik med seboj in 1, je enostavno razbrati, da so med racionalnimi števili tudi naravna števila in cela števila.

Tako lahko naravno število 3 zapišemo kot ulomek in tudi -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Na ta način je Q številčni niz, ki vključuje večje število števil, kar je zelo potrebno, saj "okrogle" številke niso dovolj za opis vseh možnih operacij.

-Racionalne številke lahko seštevamo, odštejemo, množimo in delimo, rezultat operacije pa je racionalno število: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Med vsakim parom racionalnih števil lahko vedno najdemo drugo racionalno število. Pravzaprav med dvema racionalnima števkama obstaja neskončno racionalno število.

Na primer, med racionaloma 1/4 in 1/2 sta racionalna 3/10, 7/20, 2/5 (in še veliko več), kar lahko preverimo tako, da jih izrazimo kot decimalke.

-Vsako racionalno število se lahko izrazi kot: i) celo število ali ii) omejena (stroga) ali periodična decimalka: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Pri številu lahko predstavimo neskončno enakovredne ulomke in vsi spadajo v Q. Poglejmo to skupino:

Vsi predstavljajo decimalno vrednost 0,428571 …

-Če vsi enakovredni ulomki, ki predstavljajo isto število, je nenadomestljiv ulomek, najpreprostejši od vseh, kanonični predstavnik tega števila. Kanonični predstavnik zgornjega primera je 3/7.

Slika 2.– Množica Q racionalnih števil. Vir: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Primeri racionalnih števil

-Različne ulomke, tiste, pri katerih je števec manjši od imenovalca:

-Proste ulomke, katerih števec je večji od imenovalca:

-Naravne številke in cele številke:

-Enakovredne frakcije:

Decimalna predstavitev racionalnega števila

Ko je števec razdeljen z imenovalcem, se najde decimalna oblika racionalnega števila. Na primer:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

V prvih dveh primerih je število decimalnih mest omejeno. To pomeni, da se po delitvi končno dobi preostanek 0.

Po drugi strani je v naslednjih dveh število decimalnih mest neskončno in zato je postavljena elipsa. V slednjem primeru je v decimkah vzorec. V primeru uloma 1/9 se število 1 ponovi v nedogled, v 6/11 pa 54.

Ko se to zgodi, je decimalka rečena kot periodična in jo označujemo s takim vtiskom:

Decimalko pretvorite v ulomek

Če gre za omejeno decimalko, vejica preprosto izloči in imenovalec postane enota, ki ji sledi toliko ničel, kolikor jih je v decimalki. Če želite na primer pretvoriti decimalni 1,26 v ulomek, ga zapišite takole:

1,26 = 126/100

Nato se dobljena frakcija poenostavi do maksimuma:

126/100 = 63/50

Če je decimalna številka neomejena, se najprej ugotovi obdobje. Nato sledimo tem korakom za iskanje dobljene frakcije:

-Številka je odštevanje med številom (brez vejice ali vstavka) in delom, ki mu ni všeč.

-Izmejevalnik je celo število s toliko 9, kolikor je pod kroglico številk, in toliko kot 0, kolikor je v decimalnem številu števil, ki niso pod krožnico.

Upoštevajmo ta postopek, da decimalno število 0.428428428… pretvorimo v ulomek.

-Prvo, določi se obdobje, ki je zaporedje, ki se ponovi: 428.

-Potem se izvede odštevanje števila brez vejice ali poudarka: 0428 od dela, ki nima obreza, kar je 0. Torej je 428 - 0 = 428.

- Imenovalec je sestavljen tako, da vemo, da so pod obodnim fleksom tri številke in so vse pod krožnico. Zato je imenovalec 999.

-Končno se frakcija oblikuje in po možnosti poenostavi:

0,428 = 428/999

Poenostavitve ni več mogoče.

Operacije z racionalnimi števili

- Dodajanje in odštevanje

Frakcije z istim imenovalcem

Kadar imajo ulomki enak imenovalec, je njihovo sestavljanje in / ali odštevanje zelo enostavno, saj se števniki preprosto dodajo algebrsko, pri čemer ostanejo enaki dodatki kot imenovalec rezultata. Na koncu je poenostavljeno.

Primer

Izvedite naslednji algebrski dodatek in poenostavite rezultat:

Nastala frakcija je že neuničljiva.

Frakcije z različnimi imenovalci

V tem primeru se dodatki nadomestijo z enakovrednimi ulomki z istim imenovalcem in nato sledi že opisani postopek.

Primer

Algebraično dodajte naslednja racionalna števila in poenostavite rezultat:

Koraki so:

- Določite najmanj pogosto večkratnik (lcm) imenovalcev 5, 8 in 3:

lcm (5,8,3) = 120

To bo imenovalec dobljene frakcije brez poenostavitve.

-Za vsak del: LCM delite z imenovalcem in pomnožite s števcem. Rezultat te operacije je s pripadajočim znakom nameščen v števcu ulomka. Na ta način dobimo del, enakovreden izvirniku, vendar z imenovanim LCM.

Na primer, za prvi ulomek je števec sestavljen tako: (120/5) x 4 = 96 in dobimo:

Na enak način nadaljujte z ostalimi ulomki:

Na koncu enakovredne ulomke nadomestimo, ne da bi pozabili na njihov znak in izvedli algebrsko vsoto števcev:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- množenje in delitev

Pomnoževanje in deljenje se izvede po naslednjih pravilih:

Slika 3. Pravila za množenje in deljenje racionalnih števil. Vir: F. Zapata.

Vsekakor je pomembno zapomniti, da je množenje komutativno, kar pomeni, da vrstni red dejavnikov ne spremeni izdelka. To se ne zgodi z delitvijo, zato je treba paziti na vrstni red med dividendo in deliteljem.

Primer 1

Izvedite naslednje operacije in poenostavite rezultat:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Odgovor na

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Odgovor b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Primer 2

Luisa je imela 45 dolarjev. Desetino je porabil za nakup knjige in 2/5 tistega, kar je ostalo na majici. Koliko denarja je ostalo Luisi? Rezultat izrazite kot nezdružljiv del.

Rešitev

Cena knjige (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Zato je Luisa ostala:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

S tem denarjem je Luisa odšla v trgovino z oblačili in kupila majico, katere cena je:

(2/5) x 40,5 $ = 16,2 USD

Zdaj ima Luisa v svojem portfelju:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Če ga izrazimo kot del, zapišemo takole:

24,3 = 243/10

To je neizvedljivo.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Izdaje in distribucije Codex.
2. Carena, M. 2019. Priročnik za matematiko. Nacionalna univerza Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Racionalna števila. Pridobljeno: Cimanet.uoc.edu.
6. Racionalne številke. Pridobljeno: webdelprofesor.ula.ve.