PREŠTEVILČNE ŠTEVILKE: ZNAČILNOSTI, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2025

V praštevila , imenovane tudi prime absolutnega so tiste naravnih števil, ki so le deljivo sami in 1. Ta kategorija številke, kot 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 in številne plus.

Namesto tega je sestavljena številka deljiva sama, z 1 in vsaj še eno številko. Imamo na primer 12, kar je deljivo z 1, 2, 4, 6 in 12. Po dogovoru 1 ni vključen na seznam pravih številk ali na seznam spojin.

Slika 1. Nekaj ​​pravih števil. Vir: Wikimedia Commons.

Poznavanje pravih številk sega v antične čase; stari Egipčani so jih že uporabljali in zagotovo so bili znani že davno.

Te številke so zelo pomembne, saj lahko katero koli naravno število predstavimo s produktom pravih števil, pri čemer je ta predstavitev edinstvena, razen v vrstnem redu faktorjev.

To dejstvo je v celoti ugotovljeno v izreku, imenovanem Aritmetični temeljni teorem, ki pravi, da številke, ki niso enostavne, nujno sestavljajo produkti števil, ki so.

Značilnosti pravih števil

Tu so glavne značilnosti osnovnih številk:

-To so neskončni, saj ne glede na to, kako veliko je prvo število, vedno lahko najdeš večjega.

-Če preprosto število p ne pomeni natančno drugega števila a, potem se reče, da sta p in a enaka drug drugemu. Ko se to zgodi, je edini skupni delitelj, ki ga imata oba, 1.

Ni nujno, da je a absolutno prime. Na primer, 5 je primeren, in čeprav 12 ni, sta obe številki primeren drug drugemu, saj imata oba 1 kot skupni delitelj.

-Kdaj eno preprosto število p deli moč števila n, deli tudi n. Razmislimo o 100, kar je moč 10, natančneje 10 ² . Zgodi se, da 2 delita 100 in 10.

-Vse preproste številke so lihe, razen 2, zato njegova zadnja številka je 1, 3, 7 ali 9. Pravzaprav so vsa števila, ki se končajo pri 5, večkratna od tega in zato niso enostavna.

-Če je p prime in delitelj zmnožek dveh števil ab, potem p deli eno od njih. Na primer, število št. 3 deli produkt 9 x 11 = 99, saj je 3 delitelj na 9.

Kako vedeti, ali je številka glavna

Primarnost je ime, ki je dodeljeno kvaliteti prvega pomena. No, francoski matematik Pierre de Fermat (1601-1665) je v tako imenovanem majhnem Fermatovem izrekanju našel način, kako preveriti primarnost števila, ki se glasi takole:

"Glede na prvo naravno število p in katero koli naravno število večje od 0, je res, da je ^p - a večkratnik p, dokler je p prime".

To lahko potrdimo z uporabo majhnih številk, na primer predpostavimo, da je p = 4, za katerega že vemo, da ni primeren in je že = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Številka 1290 ni natančno deljiva s 4, zato 4 ni prvo število.

Naredimo test zdaj s p = 5, ki je prime in ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 je deljivo s 5, saj je poljubno število, ki se konča z 0 ali 5. V resnici je 7760/5 = 1554. Ker drži Fermatov mali teorem, lahko zagotovimo, da je 5 prvo število.

Dokaz skozi teorem je učinkovit in neposreden z majhnimi števili, v katerih je operacija enostavna za izvedbo, a kaj storiti, če bomo vprašani, da ugotovimo prvobitnost velikega števila?

V tem primeru je število zaporedno razdeljeno med vse manjše preproste številke, dokler ne najdemo natančne delitve ali količnika, ki je manjši od delitelja.

Če je katera koli delitev točna, pomeni, da je število sestavljeno in če je količnik manjši od delitelja, pomeni, da je število enostavnejše. To bomo uresničili v rešeni vaji 2.

Načini, kako najti prvo številko

Obstaja neskončno veliko preprostih števil in ni enotne formule, ki bi jih določila. Vendar, če pogledamo nekaj glavnih številk, kot je ta:

3, 7, 31, 127 …

Opažamo, da so v obliki 2 ⁿ - 1, z n = 2, 3, 5, 7, 9 … O tem poskrbimo:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Toda na splošno ne moremo zagotoviti, da je 2 ⁿ - 1 primeren, ker obstaja nekaj vrednosti n, za katere ne deluje, na primer 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

In število 15 ni prvotno, saj se konča pri 5. Vendar pa je eden največjih znanih primerov, ki ga najdemo z računalniškimi izračuni, oblike 2 ⁿ - 1 z:

n = 57,885,161

Mersennova formula nam zagotavlja, da je 2 ^p - 1 vedno primeren, če je p tudi primeren. Na primer, 31 je primeren, zato je gotovo, da je 2 ³¹ - 1 tudi primeren :

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

Toda formula vam omogoča, da določite le nekaj pravih števil, ne vseh.

Eulerjeva formula

Naslednji polinom omogoča iskanje pravih števil, pod pogojem, da je n med 0 in 39:

P (n) = n ² + n + 41

Kasneje je v oddelku za rešene vaje prikazan primer njegove uporabe.

Sito Eratostena

Eratosten je bil fizik in matematik iz starodavne Grčije, ki je živel v 3. stoletju pred našim štetjem. Oblikoval je grafično metodo iskanja najpomembnejših številk, ki jih z majhnimi številkami lahko izvedemo v prakso, imenovano je sito Eratosthenes (sito je kot sito).

-Številke so postavljene v tabelo kot tista, ki je prikazana v animaciji.

-Nekaj ​​številk se nato prečrta, razen 2, za katere vemo, da je prvotno. Vsi drugi so večkratniki tega in zato niso glavni.

- Označeni so tudi večkratniki 3, 5, 7 in 11, razen vseh, ker vemo, da so najboljši.

- Večkratniki 4, 6, 8, 9 in 10 so že označeni, ker so sestavljeni in zato večkratnik nekaterih navedenih praštevil.

-Na koncu so številke, ki ostanejo neoznačene, prve.

Slika 2. Animacija sita Eratostena. Vir: Wikimedia Commons.

Vaje

- Vaja 1

S polinomom Euler za preproste številke poiščite 3 številke večje od 100.

Rešitev

To je polinom, ki ga je Euler predlagal za iskanje pravih števil, ki deluje za vrednosti n med 0 in 39.

P (n) = n ² + n + 41

S poskusom in napako izberemo vrednost n, na primer n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Ker je n = 8 proizvedeno primarno število večje od 100, ocenimo polinom za n = 9 in n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Vaja 2

Ugotovite, ali so naslednje številke prve:

a) 13

b) 191

Rešitev za

13 je dovolj majhno, da lahko uporabimo majhen izrek Fermata in pomoč kalkulatorja.

Uporabljamo a = 2, tako da številke niso prevelike, čeprav lahko uporabimo tudi a = 3, 4 ali 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 je deljiv z 2, saj je enakomeren, zato je 13 primeren. Bralec lahko to potrdi z istim testom z a = 3.

Rešitev b

191 je prevelik, da bi ga lahko dokazali s teoremom in skupnim kalkulatorjem, vendar lahko najdemo delitev med vsakim preprostim številom. Delitev izpustimo za 2, ker 191 ni enakomerna in delitev ne bo natančna ali količnik manjši od 2.

Poskušamo deliti s 3:

191/3 = 63.666 …

In ne daje natančnega, niti količnik nižji od delitelja (63,666… je večji od 3)

Nadaljujemo s tem, da razdelimo 191 med praštevilke 5, 7, 11, 13 in ni dosežena natančna delitev niti količnik, ki je manjši od delitelja. Dokler ni razdeljeno s 17:

191/17 = 11, 2352 …

Ker ni natančen in je 11.2352… manjši od 17, je številka 191 glavna.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Izdaje in distribucije Codex.
2. Prieto, C. Najpomembnejše številke. Obnovljeno iz: paginas.matem.unam.mx.
3. Lastnosti pravih števil. Pridobljeno: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Prve številke: kako jih najti s sito Eratosthenes. Pridobljeno: smartick.es.
5. Wikipedija. Praštevilo. Pridobljeno: es.wikipedia.org.