HOMOTECIJA: LASTNOSTI, VRSTE IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Dilatacija je geometrična sprememba v ravnini, ki je iz fiksne točke imenovano centra (O), so razdalje, pomnožen s skupnim faktorjem. Na ta način vsaka točka P ustreza drugemu točki P 'produkta transformacije, ki so poravnane s točko O.

Torej, pri homotetičnosti gre za ujemanje med dvema geometrijskima figurama, kjer se transformirane točke imenujejo homotetične in so te poravnane s fiksno točko in s segmenti, ki so vzporedni drug z drugim.

Homotecija

Homoteza je transformacija, ki nima sorodne podobe, saj iz slike dobimo eno ali več figur večje ali manjše velikosti od prvotne figure; to pomeni, da homotecija večkotnik pretvori v drugega podobnega.

Za izpolnitev homotezije morata ustrezati točka od točke do črte in črte, tako da so pari homolognih točk poravnani s tretjo fiksno točko, ki je središče homotezije.

Prav tako morajo biti pari črt, ki se jim pridružijo, vzporedni. Razmerje med takimi segmenti je konstanta, ki se imenuje razmerje homotecije (k); na tak način, da je homotetičnost mogoče opredeliti kot:

Za izvedbo te vrste transformacije začnemo z izbiro poljubne točke, ki bo središče homotecije.

Od te točke se črtajo odseki črt za vsako točko slike, ki se transformira. Lestvica, v kateri je reprodukcija nove slike, je izražena z razmerjem homotetnosti (k).

Lastnosti

Ena glavnih lastnosti homoteze je, da so po homotetskem razlogu (k) vse homotetične figure podobne. Med drugimi izjemnimi lastnostmi so naslednje:

- središče homotecije (O) je edina dvojna točka in se ta pretvori vase; se pravi, da se ne spreminja.

- Črte, ki gredo skozi središče, se spremenijo same v sebe (so dvojne), točke, ki ga sestavljajo, pa niso dvojne.

- črte, ki ne potekajo skozi središče, se spremenijo v vzporedne črte; na ta način koti homotecije ostanejo enaki.

- Slika odseka s homotetičnostjo središča O in razmerjem k je odsek, ki je vzporeden s tem in ima k krajšo dolžino. Na primer, kot je razvidno iz naslednje slike, bo odsek AB po homotetičnosti privedel do drugega segmenta A'B ', tako da bo AB vzporeden z A'B' in bo k:

- Homotetični koti so skladni; to pomeni, da imajo isti ukrep. Zato je slika kota kot, ki ima enako amplitudo.

Po drugi strani pa imamo, da se homotematičnost spreminja kot funkcija vrednosti njegovega razmerja (k) in lahko pride do naslednjih primerov:

- Če je konstanta k = 1, so vse točke pritrjene, ker se transformirajo. Tako homotetična figura sovpada z izvirno in transformacija bo imenovana identitetna funkcija.

- Če je k ≠ 1, bo edina fiksna točka središče homotetika (O).

- če je k = -1, postane homotetika osrednja simetrija (C); torej se vrti okoli C, pod kotom 180 ^ali .

- Če je k> 1, bo velikost spremenjene figure večja od velikosti izvirnika.

- Če je 0 <k <1, bo velikost spremenjene figure manjša od izvirnika.

- Če je -1 <k <0, bo velikost spremenjene figure manjša in se bo zasukala glede na izvirnik.

- Če je k <-1, bo velikost spremenjene figure večja in se bo zasukala glede na izvirnik.

Vrste

Homotetičnost lahko razvrstimo tudi v dve vrsti, odvisno od vrednosti njenega razmerja (k):

Neposredna homotetika

Nastane, če je konstanta k> 0; to je, da so homotetične točke glede na sredino na isti strani:

Faktor sorazmernosti ali razmerje podobnosti med neposrednimi homotetičnimi številkami bo vedno pozitiven.

Obratna homotetnost

Nastane, če je konstanta k <0; to pomeni, da sta začetni točki in njuni homotetiki nameščeni na nasprotnih koncih glede na središče homotetike, vendar poravnani z njim. Središče bo med dvema figurama:

Faktor sorazmernosti ali razmerje podobnosti med inverznimi homotetičnimi številkami bo vedno negativen.

Sestava

Ko zaporedoma izvedemo več gibov, dokler ne dobimo figure, enake izvirniku, nastane kompozicija gibov. Sestava več gibov je tudi gibanje.

Sestava med dvema homotecijama povzroči novo homotetičnost; to je produkt homotetij, v katerem bo središče poravnano s središčem dveh izvirnih transformacij, razmerje (k) pa je produkt obeh razmerij.

Tako bo v sestavi dveh homotetij H ₁ (O ₁ , k ₁ ) in H ₂ (O ₂ , k ₂ ) množenje njihovih razmerij: k ₁ xk ₂ = 1 povzročilo homotetičnost razmerja k ₃ = k ₁ xk ₂ . Središče te nove homotezije (O ₃ ) bo locirano na črti O ₁ O ₂ .

Homoteciji ustreza ravna in nepovratna sprememba; Če uporabimo dve homoteti, ki imata isto središče in razmerje, vendar z drugačnim predznakom, dobimo prvotno številko.

Primeri

Prvi primer

Priložite homotetijo na dani poligon središča (O), ki leži 5 cm od točke A in katerega razmerje je k = 0,7.

Rešitev

Kakršna koli točka je izbrana kot središče homoteze in od te točke se skozi vrhove slike potegnejo žarki:

Razdalja od središča (O) do točke A je OA = 5; S tem lahko določimo razdaljo ene od homotetičnih točk (OA '), pri čemer vemo tudi, da je k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Postopek je mogoče izvesti za vsako točko ali pa je mogoče sestaviti tudi homotetični poligon, pri čemer se spomnimo, da imata dva mnogokotnika vzporedni strani:

Končno je preobrazba videti takole:

Drugi primer

Na dani poligon s središčem (O), ki se nahaja 8,5 cm od točke C in katerega y razmerje k = -2, nanesemo homotetičnost.

Rešitev

Razdalja od središča (O) do točke C je OC = 8,5; S temi podatki je mogoče določiti razdaljo ene od homotetičnih točk (OC '), pri čemer vemo tudi, da je k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Po tem, ko narišemo odseke konic preoblikovanega mnogokotnika, imamo, da sta začetni točki in njuni homotetiki glede na središče nameščeni na nasprotnih koncih:

Reference

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehnična risba: zvezek z aktivnostmi.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Afiniteta, homologija in homotetika.
3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra in projektivna geometrija. Kurirska korporacija.
4. Hebert, Y. (1980). Splošna matematika, verjetnosti in statistika.
5. Meserve, BE (2014). Temeljni pojmi geometrije. Kurirska korporacija.
6. Nachbin, L. (1980). Uvod v algebro. Povrni.