DISKRETNE PORAZDELITVE VERJETNOSTI: ZNAČILNOSTI, VAJE - MATEMATIKA - 2025

V diskretne verjetnostne porazdelitve so funkcijo, ki vsak element X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, kjer je X diskretna naključna spremenljivka dana in S je prostor vzorec, je verjetnost, da omenjeni dogodek se zgodi. To funkcijo f X (S), definirano kot f (xi) = P (X = xi), včasih imenujemo funkcija verjetnostne mase.

Ta masa verjetnosti je na splošno predstavljena v obliki tabele. Ker je X diskretna naključna spremenljivka, ima X (S) končno število dogodkov ali štetje neskončnosti. Med najpogostejšimi diskretnimi verjetnostnimi porazdelitvami imamo enakomerno porazdelitev, binomno porazdelitev in Poissonovo porazdelitev.

značilnosti

Funkcija porazdelitve verjetnosti mora izpolnjevati naslednje pogoje:

Poleg tega, če X sprejme le končno število vrednosti (na primer x1, x2,…, xn), potem p (xi) = 0, če i> ny, torej neskončni niz pogoja b postane a končna serija.

Ta funkcija izpolnjuje tudi naslednje lastnosti:

Naj je B dogodek, povezan z naključno spremenljivko X. To pomeni, da je B vsebovan v X (S). Predpostavimo, da je B = {xi1, xi2, …}. Tako:

Z drugimi besedami, verjetnost dogodka B je enaka vsoti verjetnosti posameznih izidov, povezanih z B.

Iz tega lahko sklepamo, da če sta a <b, se dogodka (X ≤ a) in (a <X ≤ b) medsebojno izključujeta, poleg tega pa je njuna zveza dogodek (X ≤ b), torej imamo:

Vrste

Enakomerna porazdelitev na n točk

Rečeno je, da naključni spremenljivki X sledi porazdelitev, za katero je značilno, da je enaka na n točkah, če je vsaki vrednosti dodeljena enaka verjetnost. Njegova verjetnostna masna funkcija je:

Recimo, da imamo poskus, ki ima dva možna izida, to je lahko metanje kovanca, katerega možni rezultati so glave ali repi, ali izbira celega števila, katerega rezultat je lahko sodo število ali liho; ta vrsta eksperimenta je znana kot Bernoullijevi testi.

Na splošno dva možna izida imenujemo uspeh in neuspeh, kjer je p verjetnost uspeha in 1-p verjetnost neuspeha. Verjetnost x uspehov lahko določimo v n Bernoullijevih testih, ki so med seboj neodvisni z naslednjo porazdelitvijo.

Binomna porazdelitev

To je funkcija, ki predstavlja verjetnost doseganja x uspehov v n neodvisnih Bernoullijevih testih, katerih verjetnost za uspeh je p. Njegova verjetnostna masna funkcija je:

Naslednji graf predstavlja funkcijo mase verjetnosti za različne vrednosti parametrov binomne porazdelitve.

Naslednja razdelitev je dolžna ime francoskemu matematiku Simeonu Poissonu (1781-1840), ki ga je dobil kot mejo binomne porazdelitve.

Poissonova porazdelitev

Naključna spremenljivka X naj bi imela Poissonovo porazdelitev parametra λ, kadar lahko sprejme pozitivne celoštevilčne vrednosti 0,1,2,3, … z naslednjo verjetnostjo:

V tem izrazu je λ povprečno število, ki ustreza pojavljanjem dogodka za vsako enoto časa, x pa število ponovitev dogodka.

Njegova verjetnostna masna funkcija je:

Tu je graf, ki predstavlja funkcijo mase verjetnosti za različne vrednosti parametrov Poissonove porazdelitve.

Upoštevajte, da dokler je število uspehov majhno in je število n testov, opravljenih na binomski porazdelitvi, visoko, jih lahko vedno približamo, saj je Poissonova porazdelitev meja binomne porazdelitve.

Glavna razlika med tema dvema porazdelitvama je v tem, da je binom, ki je odvisen od dveh parametrov, in sicer n in p, odvisen le od λ, ki ga včasih imenujemo intenziteta porazdelitve.

Do zdaj smo govorili le o porazdelitvi verjetnosti za primere, v katerih so različni poskusi med seboj neodvisni; torej kadar na rezultat enega ne vpliva kak drug rezultat.

Če pride do poskusov, ki niso neodvisni, je hipergeometrična porazdelitev zelo koristna.

Hipergeometrična porazdelitev

Naj bo N skupno število predmetov končnega niza, od katerih lahko na nek način identificiramo k, tako da tvorimo podmnožico K, katere dopolnilo tvorijo preostali elementi Nk.

Če naključno izberemo n predmetov, ima naključna spremenljivka X, ki predstavlja število predmetov, ki pripadajo K v omenjeni izbiri, hipergeometrično porazdelitev parametrov N, n in k. Njegova verjetnostna masna funkcija je:

Naslednji graf predstavlja funkcijo mase verjetnosti za različne vrednosti parametrov hipergeometrične porazdelitve.

Rešene vaje

Prva vaja

Predpostavimo, da je verjetnost, da bo radijska cev (nameščena v določeni vrsti opreme) delovala več kot 500 ur, 0,2. Če se preskusi 20 cevi, kolikšna je verjetnost, da bo natančno k od teh delovalo več kot 500 ur, k = 0, 1,2,…, 20?

Rešitev

Če je X število cevi, ki delujejo več kot 500 ur, predvidevamo, da ima X binomno porazdelitev. Torej

In tako:

Za k≥11 so verjetnosti manjše od 0,001

Tako lahko vidimo, kako se verjetnost, da k teh deluje več kot 500 ur, poveča, dokler ne doseže svoje največje vrednosti (s k = 4) in nato začne padati.

Druga vaja

Kovanec se vrže 6-krat. Ko je rezultat drag, bomo rekli, da je uspeh. Kakšna je verjetnost, da se bosta natanko pojavili dve glavi?

Rešitev

V tem primeru imamo, da je n = 6 in obe verjetnosti uspeha in neuspeha sta p = q = 1/2

Zato je verjetnost, da sta podani dve glavi (to je k = 2)

Tretja vaja

Kakšna je verjetnost, da bi našli vsaj štiri glave?

Rešitev

V tem primeru imamo, da je k = 4, 5 ali 6

Tretja vaja

Predpostavimo, da je 2% izdelkov, proizvedenih v tovarni, pokvarjenih. Poiščite verjetnost P, da obstajajo trije okvarjeni predmeti v vzorcu 100 predmetov.

Rešitev

V tem primeru lahko uporabimo binomno porazdelitev za n = 100 in p = 0,02 kot rezultat:

Ker pa je p majhen, uporabimo Poissonov približek z λ = np = 2. Torej,

Reference

1. Kai Lai Chung. Elementarna teorija donosnosti s stohastičnimi procesi. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Verjetnost in statistične aplikacije. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Dr. Seymour Lipschutz 2000 rešenih problemov diskretne matematike. McGRAW-HILL.
5. Dr. Seymour Lipschutz Teoretične in verjetnostne težave. McGRAW-HILL.