LOK (GEOMETRIJA): MERA, VRSTE LOKOV, PRIMERI - MATEMATIKA - 2024

Lok , v geometriji, je vsak ukrivljena črta, ki povezuje dve točki. Zakrivljena črta je, za razliko od ravne, tista, katere smer se v vsaki točki na njej razlikuje. Nasprotno od loka je segment, saj je to ravno odsek, ki povezuje dve točki.

Lok, ki se najpogosteje uporablja v geometriji, je lok oboda. Drugi loki v skupni rabi so parabolični lok, eliptični lok in katenarni lok. Oblika loka se v arhitekturi pogosto uporablja tudi kot dekorativni in strukturni element. To velja za nadstrešnice vrat in oken ter mostove in akvadukte.

Slika 1. Mavrica je ukrivljena črta, ki povezuje dve točki na obzorju. Vir: Pixabay

Lok in njegova mera

Mera loka je njegova dolžina, ki je odvisna od vrste krivulje, ki povezuje obe točki in njihove lokacije.

Dolžina krožnega loka je ena najpreprostejših za izračun, saj je znana dolžina celotnega loka ali oboda oboda.

Obod kroga je dva pi večji od njegovega polmera: p = 2 π R. Če želimo to izračunati, če želimo izračunati dolžino s krožnega loka kota α (merjenega v radianih) in polmera R, uporabimo razmerje:

(s / p) = (α / 2 π)

Nato izbrišemo s prejšnjega izraza in nadomestimo obod p za njegovo izražanje kot funkcijo polmera R:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

To pomeni, da je mera krožnega loka produkt njegovega kotnega odpiranja, ki presega polmer krožnega loka.

Za lok na splošno je težava bolj zapletena, do te mere, da so veliki misleci antike trdili, da je to nemogoča naloga.

Šele s pojavom diferencialnih in integralnih izračunov leta 1665 je problem merjenja katerega koli loka zadovoljivo rešen.

Pred izumom diferenčnega izračuna je bilo mogoče najti rešitve le z uporabo mnogokotnih črt ali obodnih lokov, ki so približali pravemu loku, vendar te rešitve niso bile natančne.

Vrste lokov

Z vidika geometrije so loki razvrščeni glede na ukrivljeno črto, ki povezuje dve točki na ravnini. Obstajajo tudi druge klasifikacije glede na njegovo uporabo in arhitekturno obliko.

Krožni lok

Ko je premica, ki povezuje dve točki v ravnini, kos oboda določenega polmera, imamo krožni lok. Slika 2 prikazuje krožni lok c polmera R, ki povezujeta točki A in B.

Slika 2. Krožni lok polmera R, ki povezuje točki A in B. Oblikoval Ricardo Pérez.

Parabolični lok

Parabola je pot, ki ji sledi predmet, ki je poševno vržen v zrak. Ko je krivulja, ki povezuje dve točki, parabolo, potem imamo parabolični lok, kot je prikazan na sliki 3.

Slika 3. Parabolični lok, ki povezujeta točki A in B. Oblikoval Ricardo Pérez.

To je oblika curka vode, ki izhaja iz cevi, usmerjene navzgor. V vodnih virih lahko opazimo parabolični lok.

Slika 4. Parabolični lok, ki ga tvori voda iz vodnjaka v Dresdnu. Vir: Pixabay.

Katenarni lok

Katenarni lok je še en naravni lok. Katenar je krivulja, ki se naravno oblikuje, ko veriga ali vrv svobodno visi z dveh ločenih točk.

Slika 5. Katenarni lok in primerjava s paraboličnim lokom. Pripravil Ricardo Pérez.

Katenar je podoben paraboli, vendar ni povsem enak, kot ga lahko vidimo na sliki 4.

Obrnjen katenarni lok se v arhitekturi uporablja kot strukturni element z visoko tlačno trdnostjo. Pravzaprav se lahko pokaže, da je med vsemi možnimi oblikami najmočnejša vrsta premca.

Če želite zgraditi trden katenarni lok, preprosto kopirajte obliko viseče vrvi ali verige, nato pa kopirate obliko, da jo reproducirate na prekrivanju vrat ali oken.

Eliptični lok

Lok je eliptičen, če je krivulja, ki povezuje dve točki, del elipse. Elipsa je opredeljena kot mesto točk, katerih razdalja do dveh danih točk vedno se sešteva s konstantno količino.

Elipsa je krivulja, ki se pojavi v naravi: je krivulja poti planetov okoli Sonca, kot jo je leta 1609 demonstriral Johannes Kepler.

V praksi je mogoče elipso narisati tako, da dve opornici pripnete na tla ali dva zatiča v papirju in na njih privežete vrvico. Nato se vrv zategne z markerjem ali svinčnikom in sledi krivulja. Košček elipse je eliptični lok. Naslednja animacija ponazarja risanje elipse:

Slika 5. Sledenje elipse s pomočjo napete vrvi. Vir: Wikimedia Commons

Slika 6 prikazuje eliptični lok, ki povezuje točki G in H.

Slika 6. Eliptični lok, ki povezuje dve točki. Pripravil Ricardo Pérez.

Primeri lokov

Naslednji primeri se nanašajo na izračun oboda nekaterih posebnih lokov.

Primer 1

Na sliki 7 je prikazano okno, ki je zaključeno v kroju obrezanega loka. Dimenzije, prikazane na sliki, so v stopalih. Poiščite dolžino loka.

Slika 7. Izračun dolžine krožnega loka okna. (Lastne pripombe - slika okna na Pixabayu)

Za pridobitev središča in polmera krožnega loka okenskega nadstreška so na sliki izdelane naslednje konstrukcije:

-Osek KL je narisan in njegov bisektor.

-Potem se nahaja najvišja točka prenosnika, ki ji rečemo M. Nato se upošteva segment KM in nariše se njegova mediatrix.

Prestrezka obeh bisektorjev je točka N in je tudi središče krožnega loka.

-Zdaj moramo izmeriti dolžino segmenta NM, ki sovpada s polmerom R krožnega loka: R = 2,8 čevljev.

-Za poznavanje dolžine loka poleg polmera je potrebno poznati tudi kot, ki ga lok tvori. Ki jih lahko določimo z dvema metodama, bodisi merimo s potisnikom, bodisi ga izračunamo s trigonometrijo.

V prikazanem primeru je kot, ki ga tvori lok, 91,13 °, ki ga je treba pretvoriti v radiane:

91,13 ° = 91,13 ° * π / 180 ° = 1,59 radiana

Na koncu izračunamo dolžino s loka z formulo s = α R.

s = 1,59 * 2,8 stopala = 4,55 čevlja

Primer 2

Poiščite dolžino eliptičnega loka, prikazano na sliki 8, ob poznavanju pol-glavne osi r in pol-manjše osi elipse.

Slika 8. Eliptični lok med GH. Pripravil Ricardo Pérez.

Najdba dolžine elipse je bila dolgo časa ena najtežjih težav v matematiki. Lahko dobite rešitve, izražene z eliptičnimi integrali, toda če želite imeti numerično vrednost, morate te integrale razširiti v vrsticah moči. Za natančen rezultat bi bili potrebni neskončni pogoji teh serij.

Na srečo je hindujski matematični genij Ramanujan, ki je živel med letoma 1887 in 1920, našel formulo, ki zelo natančno približa obod elipse:

Obod elipse z r = 3 cm in s = 2,24 cm je 16,55 cm. Vendar ima prikazani eliptični lok polovico te vrednosti:

Dolžina eliptičnega loka GH = 8,28 cm.

Reference

1. Clemens S. 2008. Geometrija in trigonometrija. Pearsonova vzgoja.
2. García F. Numerični postopki na Javi. Dolžina elipse. Pridobljeno: sc.ehu.es
3. Dinamična geometrija. Loki. Pridobljeno iz geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elipse in parabole okoli nas. Pridobljeno: piziadas.com
5. Wikipedija. Lok (geometrija). Pridobljeno: es.wikipedia.com