TRAPEZNI SKENEL: LASTNOSTI, FORMULE IN ENAČBE, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Scalene trapez je mnogokotnik s štirimi stranicami, od katerih sta dve medsebojno vzporedni, in s svojimi štirimi notranjimi koti različnih ukrepov.

Spodaj je prikazan štirikotnik ABCD, kjer sta strani AB in DC vzporedni drug drugemu. To je dovolj, da je trapez, a tudi notranji koti α, β, γ in δ so različni, zato je trapez skanen.

Slika 1. Štirikotnik ABCD je trapezni po pogoju 1 in lestvici po pogoju 2. Vir: F. Zapata.

Elementi trapezija skale

Tu so najbolj značilni elementi:

-Osnove in stranice: vzporedni strani trapeza sta njegovi podlagi, dve ne vzporedni strani pa strani.

V skale trapez so podlage različnih dolžin in tudi stranske. Vendar ima skale trapez lahko stransko enako dolžino baze.

-Median: je segment, ki se pridruži sredinam bočnih.

-Diagonale: diagonala trapeza je segment, ki povezuje dve nasprotni točki. Trapez, kot vsak štirikotnik, ima dve diagonali. V skale trapez so različne dolžine.

Drugi trapezoidi

Poleg skale trapeza obstajajo še nekateri posebni trapezoidi: desni trapezoid in enakomerni trapez.

Trapez je pravokotnik, če je eden od njegovih kotov pravi, medtem ko ima enakostelični trapez stranice enake dolžine.

Trapezna oblika ima številne aplikacije na ravni oblikovanja in industrije, na primer pri konfiguraciji kril zrakoplova, obliki vsakodnevnih predmetov, kot so mize, naslonjali stola, embalaža, torbice, tekstilni odtisi in drugo.

Slika 2. Trapezna oblika je pogosta v konfiguraciji kril letala. Vir: Wikimedia Commons.

Lastnosti

Spodaj so navedene lastnosti skale trapeza, od katerih se mnoge razširijo na druge vrste trapeza. V nadaljevanju, ko se govori o "trapezu", bo lastnost veljala za katero koli vrsto, vključno s skalo.

1. Mediana trapeza, to je segmenta, ki se povezuje s srednjicami njegovih vzporednih strani, je vzporedna s katero koli osnovo.

2. - Mediana trapeza ima dolžino, ki je polobla dolžine njegovih baz, in na sredini vrezuje njegove diagonale.

3.- Diagonale trapeza sekajo na točki, ki jih deli na dva odseka, ki sta sorazmerna z količnikom podstavkov.

4.- Vsota kvadratov diagonale trapeza je enaka vsoti kvadratov njegovih strani in dvojnemu izdelku njihovih osnov.

5.- Segment, ki se združi s srednjicami diagonale, ima dolžino, enako polovici razlike osnov.

6.- Koti, ki mejijo na bočne, so dopolnilni.

7.- V skale trapez so dolžine njegovih diagonalov različne.

8.- Trapez ima vklesan obseg le, če je vsota njegovih osnov enaka vsoti njegovih strani.

9.- Če ima trapez vpisan obod, je kot z vrhom v sredini omenjenega oboda in stranicami, ki gredo skozi konce stranice trapeza, ravno.

10.- Trapezoid skale nima začrtanega oboda, edina vrsta trapeza je izosceles.

Formule in enačbe

Naslednja razmerja skale trapez so navedena na naslednji sliki.

1.- Če AE = ED in BF = FC → EF - AB in EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, to je: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 in AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) podobno CJ / JA = (c / a).

Slika 3. Mediana in diagonale skale trapeza. Vir: F. Zapata.

5.– DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Enakovredno:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Se pravi:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ in β + γ = 180⁰

8.- Če je α ≠ β ≠ γ ≠ δ, potem d1 ≠ d2.

9.- Slika 4 prikazuje skale trapez, ki ima vpisan obod, v tem primeru je res, da:

a + c = d + b

10.- V skale trapez ABCD z vpisanim obodom središča O velja tudi naslednje:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Slika 4. Če je v trapezu preverjeno, da je vsota njegovih podlag enaka vsoti stranskih, je v njej vpisan obod. Vir: F. Zapata.

Višina

Višina trapeza je opredeljena kot segment, ki sega od točke osnove pravokotno na nasprotno podlago (ali njen podaljšek).

Vse višine trapeza imajo enake meritve h, zato se večino časa beseda višina nanaša na njegovo merjenje. Skratka, višina je razdalja ali ločitev med bazami.

Višino h lahko določimo s poznavanjem dolžine ene strani in enega od kotov, ki mejijo na stran:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediana

Vrednost m mediane trapeza je pol seštevek baz:

m = (a + b) / 2

Diagonale

d ₁ = √

d ₂ = √

Izračunamo ga lahko tudi, če je znana le dolžina strani trapeza:

d ₁ = √

d ₂ = √

Obseg

Obod je skupna dolžina konture, to je vsota vseh njegovih strani:

P = a + b + c + d

Območje

Območje trapeza je pol njegove podlage, pomnoženo z njegovo višino:

A = h ∙ (a + b) / 2

Izračunamo ga lahko tudi, če je mediana m znana in višina h:

A = m ∙ h

Če je znana samo dolžina strani trapeza, lahko območje določimo s Heronovo formulo za trapez:

A = ∙ √

Kjer je s polperimeter: s = (a + b + c + d) / 2.

Druga razmerja za trapezi lestvice

Presečišče mediane z diagonalami in vzporednica, ki poteka skozi presečišče diagonal, povzroči druge odnose.

Slika 5. Druga razmerja za skale trapezija. Vir: F. Zapata.

-Relacije za srednji EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Odgovori za odsek, vzporeden s bazami KL, ki poteka skozi presečišče J diagonale

Če je KL - AB - DC z J ∈ KL, potem je KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konstrukcija skale trapez z ravnilom in kompasom

Glede na podlage dolžin a in c, kjer a> cy s stranicama dolžin b in d, kjer je b> d, nadaljujte z naslednjimi koraki (glejte sliko 6):

1.- S pravilom se nariše segment velikega AB.

2.- Od A se in na AB označite točko P, tako da je AP = c.

3.- S kompasom s središčem v P in polmerom d je narisan lok.

4.- Na območju B s polmerom b se naredi središče, ki loči lok, narisan v prejšnjem koraku. Q imenujemo točka presečišča.

Slika 6. Konstrukcija skale trapez glede na njegove stranice. Vir: F. Zapata.

5.- S središčem na A narišite lok polmera d.

6.- S središčem v Q narišite lok polmera c, ki preseka lok, narisan v prejšnjem koraku. Mejna vrednost se bo imenovala R.

7.- Z ravnilom so narisani odseki BQ, QR in RA.

8.- Štirikotnik ABQR je skale trapez, saj je APQR paralelogram, ki zagotavlja, da je AB - QR.

Primer

V cm so podane naslednje dolžine: 7, 3, 4 in 6.

a) Ugotovite, ali lahko z njimi sestavite lestvici trapez, ki lahko obkroži krog.

b) Poiščite obod, območje, dolžino diagonale in višino omenjenega trapeza, pa tudi polmer vpisanega kroga.

- Rešitev za

Z uporabo odsekov dolžine 7 in 3 kot podstavkov in dolžin 4 in 6 kot stranskih strani je mogoče izdelati skale trapez po postopku, opisanem v prejšnjem razdelku.

Ostaja še preveriti, ali ima vpisan obseg, vendar si zapomniti posest (9):

To vidimo učinkovito:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Potem je pogoj obstoja vpisanega oboda izpolnjen.

- Rešitev b

Obseg

Obod P dobimo tako, da dodamo stranice. Ker podlage vsebujejo do 10, stranske pa tudi, je obod:

P = 20 cm

Območje

Za določitev območja, poznanega samo njegovih strani, uporabimo razmerje:

A = ∙ √

Kjer je s polperimeter:

s = (a + b + c + d) / 2.

V našem primeru je polperimeter vreden s = 10 cm. Po zamenjavi ustreznih vrednosti:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Ostanki:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Višina

Višina h je s površino A povezana z naslednjim izrazom:

A = (a + c) ∙ h / 2, s katerega višino lahko dobimo s čiščenjem:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Polmer vpisanega kroga

Polmer vpisanega kroga je enak polovici višine:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonale

Na koncu najdemo dolžino diagonale:

d ₁ = √

d ₂ = √

Pravilno nadomeščanje vrednosti, ki jih imamo:

d ₁ = √ = √ (36 + 21–7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

To je: d ₁ = 4,69 cm in d ₂ = 8,49 cm

Slika 7. Scalene trapez, ki izpolnjuje pogoj obstoja vpisanega oboda. Vir: F. Zapata.

Vaja rešena

Določite notranje kote trapeza z osnovami AB = a = 7, CD = c = 3 in stranskimi koti BC = b = 6, DA = d = 4.

Rešitev

Za določitev kotov lahko uporabimo izrek kosinusa. Na primer, je kot ∠A = α določen iz trikotnika ABD z AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 in DA = d = 4.

Teorem kosinusa, ki se uporablja za ta trikotnik, izgleda tako:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), to je:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Če rešimo za kosinus kota α, dobimo:

Cos (α) = -1/8

To pomeni, da je α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Druge kote dobimo na enak način, njihove vrednosti so:

β = 41,41 °; γ = 138,59⁰ in na koncu δ = 82,82⁰.

Reference

1. CEA (2003). Elementi geometrije: z vajami in geometrijo kompasa. Univerza v Medellinu.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Uredništvo Patria.
3. Freed, K. (2007). Odkrijte poligone. Benchmark izobraževalno podjetje.
4. Hendrik, V. (2013). Splošni poligoni. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika prvi semester Tacaná. IGER.
6. Jr. Geometrija (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren in Hornsby. (2006). Matematika: Obrazložitev in aplikacije (deseta izdaja). Pearsonova vzgoja.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Uredniški progreso.
9. Wikipedija. Trapez. Pridobljeno: es.wikipedia.com