IZOMETRIČNE TRANSFORMACIJE: SESTAVA, VRSTE IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

V izometrične transformacije so spremembe položaja ali orientacije dani sliki, ki ne spreminjajo oblike ali velikosti to. Te transformacije razvrščamo v tri vrste: prevajanje, vrtenje in odboj (izometrija). Na splošno geometrijske transformacije omogočajo ustvarjanje nove figure iz dane.

Preobrazba v geometrijsko figuro pomeni, da je na nek način doživela nekaj sprememb; to je bilo spremenjeno. Glede na občutek izvirnika in podobno v ravnini lahko geometrijske transformacije razvrstimo v tri vrste: izometrične, izomorfne in anamorfne.

značilnosti

Izometrične transformacije nastanejo, ko se ohranijo velikosti segmentov in koti med prvotno figuro in preoblikovano figuro.

Pri tej vrsti preobrazbe se ne spreminjata niti oblika niti velikost figure (so skladni), gre le za spremembo njenega položaja, bodisi v orientaciji ali smeri. Na ta način bodo začetne in končne številke podobne in geometrijsko skladne.

Izometrija se nanaša na enakost; z drugimi besedami, geometrijske figure bodo izometrične, če bodo imele enako obliko in velikost.

Pri izometričnih transformacijah je edino, kar lahko opazimo, sprememba položaja v ravnini, pojavi se togo gibanje, zahvaljujoč temu, da figura preide iz začetnega v končni položaj. Ta številka se imenuje homologna (podobna) izvirnika.

Obstajajo tri vrste gibov, ki razvrščajo izometrično transformacijo: prevod, vrtenje in odboj ali simetrija.

Vrste

S prevodom

So tiste izometrije, ki omogočajo premikanje vseh točk ravnine v smeri in razdalji po ravni črti.

Ko se figura s prevodom preoblikuje, ne spremeni orientacije glede na začetni položaj, niti ne izgubi svojih notranjih ukrepov, ukrepov svojih kotov in strani. Ta vrsta premika je določena s tremi parametri:

- Ena smer, ki je lahko vodoravna, navpična ali poševna.

- Ena smer, ki je lahko levo, desno, navzgor ali navzdol.

- razdalja ali velikost, ki je dolžina od začetnega položaja do konca katere koli točke, ki se premika.

Za izometrično transformacijo s prevodom je treba izpolniti naslednje pogoje:

- Slika mora vedno ohraniti vse svoje dimenzije, linearne in kotne.

- Slika ne spreminja svojega položaja glede na vodoravno os; to pomeni, da se njegov kot nikoli ne spreminja.

- Prevodi bodo vedno povzeti v enem, ne glede na število izvedenih prevodov.

V ravnini, kjer je središče točka O, s koordinatami (0,0), prevod definiramo z vektorjem T (a, b), ki označuje premik začetne točke. Se pravi:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Na primer, če na koordinatno točko P (8, -2) uporabimo prevod T (-4, 7), dobimo:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Na naslednji sliki (levo) je razvidno, kako se je točka C premaknila v sovpadanje z D. To je storila v navpični smeri, smer je bila navzgor in CD z razdaljo ali magnitudo 8 metrov. Na desni sliki je opažen prevod trikotnika:

Z vrtenjem

So tiste izometrije, ki figuri omogočajo vrtenje vseh točk ravnine. Vsaka točka se vrti po loku, ki ima stalen kot in fiksno točko (središče vrtenja).

To pomeni, da bo vse vrtenje določeno z njegovim središčem vrtenja in kotom vrtenja. Ko se figura z vrtenjem spremeni, ohranja merilo svojih kotov in stranic.

Vrtenje se zgodi v določeni smeri, pozitivno je, ko se vrti v nasprotni smeri urinega kazalca (nasprotna smer, kako se vrtijo ročice ure) in negativno, ko se vrti v smeri urinega kazalca.

Če se točka (x, y) zasuče glede na izvor - torej je njeno vrtilno središče (0,0) -, pod kotom 90 ^ali 360, ^ali bodo koordinate točk:

V primeru, da vrtenje nima središča pri izhodišču, je treba izvor koordinatnega sistema prenesti na nov dani izvor, da bomo lahko vrteli figuro z izvorom kot središčem.

Na primer, če je točka P (-5,2) uporabljena rotacija za 90 ^ali , okoli začetka in pozitivno so njegove nove koordinate (-2.5).

Z odsevom ali simetrijo

So tiste transformacije, ki obrnejo točke in figure ravnine. Ta inverzija je lahko glede na točko ali pa tudi glede na črto.

Z drugimi besedami, pri tej vrsti transformacije je vsaka točka prvotne figure povezana z drugo točko (sliko) homologne figure, in sicer tako, da sta točka in njena podoba na isti razdalji od črte, imenovane osi simetrije. .

Tako bo levi del figure odsev desnega dela, ne da bi spremenil svojo obliko ali dimenzije. Simetrija spremeni figuro v drugo enako, vendar v nasprotni smeri, kot je razvidno iz naslednje slike:

Simetrija je prisotna v številnih vidikih, kot so nekatere rastline (sončnice), živali (pav) in naravni pojavi (snežinke). Človek ga odraža na obrazu, ki velja za dejavnik lepote. Odsev ali simetrija sta lahko dve vrsti:

Centralna simetrija

To je tista transformacija, ki se zgodi glede na točko, v kateri lahko lik spremeni svojo usmeritev. Vsaka točka prvotne figure in njena podoba sta na isti razdalji od točke O, ki se imenuje središče simetrije. Simetrija je osrednja, če:

- Točka in njena podoba in središče pripadata isti črti.

- Z vrtenjem za 180 ^o središču O dobimo številko, ki je enaka izvirniku.

- Črte začetne figure so vzporedne s črtami oblikovane figure.

- Čut za figuro se ne spremeni, vedno bo v smeri urinega kazalca.

Sestava vrtenja

Sestava dveh zavojev z istim središčem povzroči drug zavoj, ki ima isto središče in katerega amplituda bo vsota amplitud dveh zavojev.

Če ima središče zavojev drugačno središče, bo presek bisektorja dveh odsekov podobnih točk središče obrata.

Sestava simetrije

V tem primeru bo sestava odvisna od načina uporabe:

- Če se ista simetrija uporabi dvakrat, bo rezultat identiteta.

- Če sta glede na dve vzporedni osi uporabljeni dve simetriji, bo rezultat prevod in njen premik je dvakrat večji od razdalje teh osi:

- Če sta dve simetriji uporabljeni glede na dve osi, ki sekata v točki O (v sredini), dobimo vrtenje s središčem v točki O in njegov kot je dvakrat večji od kota, ki ga tvorita osi:

Reference

1. V Bourgeois, JF (1988). Materiali za gradnjo geometrije. Madrid: Sinteza.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Tehnična risba II. Paraninfo SA: Izdaje stolpa.
3. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije. Mehika: Limusa-Wiley
4. Coxford, A. (1971). Geometrija Transformacijski pristop. ZDA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Indukcija in formalizacija pri poučevanju togih transformacij v okolju CABRI.
6. , PJ (1996). Skupina izometrije letala. Madrid: Sinteza.
7. Suárez, AC (2010). Transformacije v ravnini. Gurabo, Portoriko: AMCT.