MOIVREJEV IZREK: DOKAZ IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2025

Izrek Moivre uporablja algebra temeljne procese, kot so pooblastila in pridobivanja korenine v kompleksnih števil. Teorem je navedel priznani francoski matematik Abraham de Moivre (1730), ki je kompleksna števila povezal s trigonometrijo.

Abraham Moivre je to povezovanje opravil z izrazi sinusa in kosinusa. Ta matematik je ustvaril nekakšno formulo, s katero je mogoče dvigniti kompleksno število z na moč n, ki je pozitivno celo število večje od ali enako 1.

Kaj je Moivrejev izrek?

Moivrejev izrek navaja naslednje:

Če imamo kompleksno število v polarni obliki z = r _Ɵ , kjer je r modul kompleksnega števila z, in kot Ɵ imenujemo amplituda ali argument katerega koli kompleksnega števila z 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, da izračunamo njegovo n– moči ne bo treba množiti sam od sebe n-krat; torej ni treba narediti naslednjega izdelka:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-krat.

Nasprotno, izrek pravi, da pri pisanju z v trigonometrični obliki za izračun n-te moči ravnamo takole:

Če je z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), potem je z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Na primer, če je n = 2, potem je z ² = r ² . Če je n = 3, potem je z ³ = z ² _* z. Tudi:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Na ta način lahko dobimo trigonometrična razmerja sinusa in kosinusa za večkratnike kota, dokler so znana trigonometrična razmerja kota.

Na enak način ga lahko uporabimo za iskanje natančnejših in manj zmedenih izrazov za n-ti koren kompleksnega števila z, tako da je z ⁿ = 1.

Za dokazovanje Moivreovega izrek je uporabljeno načelo matematične indukcije: če ima celo število "a" lastnost "P" in če je za katero koli celo število "n" večje od "a", ki ima lastnost "P" Izpolni, da ima tudi n + 1 lastnost "P", potem imajo vsa cela števila večja ali enaka "a" lastnost "P".

Demonstracija

Dokazilo teorema je torej izvedeno z naslednjimi koraki:

Induktivna podlaga

Najprej se preveri za n = 1.

Ker je z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , velja teorem za n = 1.

Induktivna hipoteza

Za neko pozitivno celo število velja, da formula velja, da je n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Preverjanje

Dokazano je, da je resnično za n = k + 1.

Ker je z ^{k + 1} = z ^k _* z, potem je z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Nato se izrazi pomnožijo:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Za trenutek se faktor r ^{k + 1} prezre in vzamemo skupni faktor i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Ker je i ² = -1, ga nadomestimo v izrazu in dobimo:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Zdaj sta pravi del in namišljeni del urejena:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Za poenostavitev izraza za kosinus in sinus uporabimo trigonometrične identitete vsote kotov, ki sta:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

greh (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

V tem primeru sta spremenljivki kota Ɵ in kƟ. Z uporabo trigonometričnih identitet imamo:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

greh kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = greh (kƟ + Ɵ)

Na ta način je izraz:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Tako bi lahko pokazali, da rezultat velja za n = k + 1. Po načelu matematične indukcije se sklene, da rezultat velja za vsa pozitivna cela števila; torej n ≥ 1.

Negativno celo število

Moivreov izrek se uporablja tudi, kadar je n ≤ 0. Razmislimo o negativnem celem številu «n»; potem lahko "n" zapišemo kot "-m", torej n = -m, kjer je "m" pozitivno celo število. Tako:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Da dobimo eksponent «m» na pozitiven način, je izraz napisan obratno:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Zdaj se uporablja, da če je z = a + b * i kompleksno število, potem je 1 ÷ z = ab * i. Tako:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Z uporabo cos (x) = cos (-x) in tiste -sen (x) = sin (-x) imamo:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Tako lahko rečemo, da izrek velja za vse celoštevilčne vrednosti "n".

Rešene vaje

Izračun pozitivnih moči

Ena od operacij s kompleksnimi števili v njihovi polarni obliki je množenje od dveh; v tem primeru se moduli pomnožijo in dodajo argumenti.

Če imate dve zapleteni številki z _{1 in} z ₂ in želite izračunati (z ₁ * z ₂ ) ² , potem nadaljujte na naslednji način:

z ₁ z ₂ = *

Distributivna lastnost velja:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

So združeni in jemljejo izraz "i" kot skupni dejavnik izrazov:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Ker je i ² = -1, je v izrazu substituiran:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Resnični izrazi so prerazvrščeni z resničnimi, imaginarni pa z namišljeni:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Končno veljajo trigonometrične lastnosti:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

V zaključku:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Vaja 1

Zapišite kompleksno število v polarni obliki, če je z = - 2 -2i. Nato s pomočjo Moivrejevega teorema izračunajte z ⁴ .

Rešitev

Kompleksno število z = -2 -2i je izraženo v pravokotni obliki z = a + bi, kjer:

a = -2.

b = -2.

Vemo, da je polarna oblika z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), moramo določiti vrednost modula "r" in vrednost argumenta "Ɵ". Ker je r = √ (a² + b²), se dani vrednosti nadomestita:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Nato za določitev vrednosti «Ɵ» uporabimo pravokotno obliko tega, ki ga dobimo s formulo:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Ker je tan (Ɵ) = 1 in imamo <0, potem imamo:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Kot sta že dobljeni vrednosti «r» in «been», je kompleksno število z = -2 -2i mogoče izraziti v polarni obliki z zamenjavo vrednosti:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Zdaj uporabimo Moivrov izrek za izračun z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Vaja 2

Poiščite produkt kompleksnih števil tako, da ga izrazite v polarni obliki:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Nato izračunajte (z1 * z2) ².

Rešitev

Najprej se oblikuje produkt danih števil:

z ₁ z ₂ = *

Nato se moduli pomnožijo med seboj in dodajo se argumenti:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Izraz je poenostavljen:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Končno velja Moivreov izrek:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Izračun negativnih moči

Če delimo dve kompleksni števili z _{1 in} z ₂ v njihovi polarni obliki, se modul deli in argumenti se odštevajo. Tako je količnik z ₁ ÷ z ₂ in je izražen na naslednji način:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Tako kot v prejšnjem primeru, če želimo izračunati (z1 ÷ z2) ³, najprej delimo in nato uporabimo Moivrov izrek.

Vaja 3

Kocke:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

izračunati (z1 ÷ z2) ³.

Rešitev

Po zgoraj opisanih korakih je mogoče ugotoviti, da:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Reference

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
2. Croucher, M. (drugo). Iz Moivrejevega teorema za Trig identitete. Projekt demonstracij Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Enciklopedija matematike.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra in trigonometrija.
5. Pérez, CD (2010). Pearsonova vzgoja.
6. Stanley, G. (drugi). Linearna algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.