KAJ SO TRIGONOMETRIČNE MEJE? (VAJE REŠENE) - MATEMATIKA - 2025

V trigonometrične meje so meje funkcij, tako da so te funkcije, ki jih tvori trigonometrične funkcije.

Da bi razumeli, kako izračunati trigonometrično mejo, je treba poznati dve opredelitvi.

Te opredelitve so:

- Omejitev funkcije «f», ko se «x» nagiba k «b»: sestoji iz izračuna vrednosti, do katere se f (x) približa «x», približa se «b», ne da bi dosegla «b» ».

- Trigonometrične funkcije: trigonometrične funkcije so sinusne, kosinusne in tangentne funkcije, označene s sin (x), cos (x) in tan (x).

Druge trigonometrične funkcije dobimo iz zgoraj omenjenih treh funkcij.

Mejne vrednosti

Za razjasnitev pojma omejitve funkcij bomo nadaljevali s prikazom nekaterih primerov s preprostimi funkcijami.

- Meja f (x) = 3, kadar "x" teži k "8", je enaka "3", saj je funkcija vedno konstantna. Ne glede na to, koliko je "x" vreden, bo vrednost f (x) vedno "3".

- Meja f (x) = x-2, ko se "x" nagiba k "6", je "4". Od takrat, ko se "x" približa "6", se potem "x-2" približa "6-2 = 4".

- Omejitev g (x) = x², ko se "x" nagiba k "3", je enaka 9, saj ko se "x" približa "3", se potem "x²" približa "3² = 9" .

Kot je razvidno iz prejšnjih primerov, je izračun omejitve sestavljen iz ocenjevanja vrednosti, do katere "x" teži v funkciji, rezultat pa bo vrednost omejitve, čeprav to velja samo za neprekinjene funkcije.

Ali obstajajo bolj zapletene omejitve?

Odgovor je pritrdilen. Zgornji primeri so najpreprostejši primeri omejitev. V računskih knjigah so glavne omejitvene vaje tiste, ki ustvarjajo nedoločljivost tipa 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 in (∞) ^ 0.

Te izraze imenujemo nedoločnost, saj gre za izraze, ki matematično nimajo smisla.

Poleg tega je odvisno od funkcij, ki so vključene v prvotno omejitev, rezultat, ki ga dobimo pri reševanju nedoločnosti, za vsak primer drugačen.

Primeri preprostih trigonometričnih mej

Za reševanje omejitev je vedno zelo koristno poznati grafe vpletenih funkcij. Spodnji grafi so funkcije sinusov, kosinusov in tangent.

Nekaj ​​primerov preprostih trigonometričnih mej je:

- Izračunajte mejo greha (x), ko se «x» nagiba k «0».

Ob pogledu na graf lahko vidimo, da če se "x" približa "0" (tako z leve kot desne strani), se sinusni graf prav tako približa "0". Zato je meja greha (x), kadar "x" teži k "0", "0".

- Izračunajte mejo cos (x), ko se «x» nagiba na «0».

Če opazimo graf kosinusa, je razvidno, da ko je "x" blizu "0", je graf kosinusa blizu "1". To pomeni, da je meja cos (x), kadar "x" teži k "0", enaka "1".

Omejitev lahko obstaja (kot številka), kot v prejšnjih primerih, lahko pa se zgodi tudi, da ne obstaja, kot je prikazano v naslednjem primeru.

- Meja tan (x), ko se "x" nagiba k "Π / 2" na levi strani, je enaka "+ ∞", kot je razvidno iz grafa. Po drugi strani je meja tan (x), ko se "x" nagiba k "-Π / 2" z desne, je enaka "-∞".

Trigonometrične meje identitete

Pri izračunu trigonometričnih mej sta dve zelo uporabni identiteti:

- Meja «sin (x) / x», ko se «x» nagiba na «0», je enaka «1».

- Meja «(1-cos (x)) / x», ko se «x» nagiba k «0», je enaka «0».

Te identitete se uporabljajo zelo pogosto, če imate neke vrste nedoločnost.

Rešene vaje

Rešite za naslednje omejitve z uporabo zgoraj opisanih identitet.

- Izračunajte mejo «f (x) = sin (3x) / x», ko «x» teži k «0».

Če se funkcija "f" oceni na "0", se ugotovi nedoločnost tipa 0/0. Zato moramo poskušati rešiti to nedoločnost z opisanimi identitetami.

Edina razlika med to mejo in identiteto je številka 3, ki se pojavi znotraj sinusne funkcije. Za uporabo identitete je treba funkcijo «f (x)» prepisati na naslednji način «3 * (sin (3x) / 3x)». Zdaj sta sine argument in imenovalec enaka.

Ko torej "x" teži k "0", z identiteto dobimo "3 * 1 = 3". Zato je meja f (x), kadar "x" teži k "0", enaka "3".

- Izračunajte mejo «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», ko se «x» nagiba k «0».

Ko je "x = 0" substituiran v g (x), dobimo nedoločenost tipa ∞-∞. Da bi ga rešili, ulomke najprej odštejemo, kar daje "(1-cos (x)) / x".

Zdaj, če uporabimo drugo trigonometrično identiteto, imamo, da je meja g (x), ko se "x" nagiba na "0", enaka 0.

- Izračunajte mejo «h (x) = 4tan (5x) / 5x», ko se «x» nagiba k «0».

Če je h (x) ocenjen na "0", dobimo nedoločnost tipa 0/0.

Če vtipkate kot (5x) kot sin (5x) / cos (5x), pride do h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Če uporabimo, da je meja 4 / cos (x), kadar "x" teži k "0", enaka "4/1 = 4" in dobimo prvo trigonometrično identiteto, da je meja h (x), kadar "x" teži a "0" je enak "1 * 4 = 4".

Opazovanje

Trigonometrične meje ni vedno enostavno rešiti. V tem članku so bili prikazani le osnovni primeri.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Prekalkulistična matematika. Dvorana Prentice PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: pristop k reševanju problemov (2, Ilustrirana ur.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
4. Larson, R. (2010). Prekalkulus (8 izd.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitska geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Izračun (deveto izd.). Dvorana Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Diferencialno računanje z zgodnjimi transcendentnimi funkcijami za znanost in inženiring (druga izdaja, ed.). Hipotenuza.
9. Scott, Kalifornija (2009). Kartezijanska geometrija ravnin, del: Analitični koniki (1907) (ponatis). Vir strele.
10. Sullivan, M. (1997). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.