KAJ JE RANG V STATISTIKI? (S PRIMERI) - DUDE - 2026

Območje , območje ali amplituda v statistiki, je razlika (odštevanje) med vrednostjo največjo in najmanjšo vrednostjo niza podatkov iz vzorca ali populacije. Če je območje predstavljeno s črko R in so podatki predstavljeni s x, je formula za obseg preprosto:

R = x _max - x _min

Kjer je x _max največja vrednost podatkov in x _min najmanjša.

Slika 1. Obseg podatkov, ki ustrezajo prebivalstvu Cádiza v zadnjih dveh stoletjih. Vir: Wikimedia Commons.

Koncept je zelo uporaben kot preprosto merilo razpršenosti za hitro ocenjevanje spremenljivosti podatkov, saj označuje podaljšanje ali dolžino intervala, kjer jih najdemo.

Recimo, na primer, da se meri višina skupine 25 moških študentov prvega inženirja na univerzi. Najvišji učenec v skupini je 1,93 m, najkrajši pa 1,67 m. To so skrajne vrednosti vzorčnih podatkov, zato je njihova pot:

R = 1,93 - 1,67 m = 0,26 m ali 26 cm.

Višina učencev v tej skupini je razporejena po tem območju.

Prednosti in slabosti

Domet je, kot smo že rekli, merilo, kako razširjeni so podatki. Majhen obseg kaže na to, da so podatki bolj ali manj blizu in razpršenost nizka. Po drugi strani večji razpon kaže na to, da so podatki bolj razpršeni.

Prednosti izračuna obsega so očitne: najti jih je zelo enostavno in hitro, saj gre za preprosto razliko.

Ima tudi enake enote kot podatki, s katerimi deluje, in koncept je zelo enostavno razlagati za vsakega opazovalca.

V primeru višine študentov strojništva, če bi bil obseg 5 cm, bi rekli, da so vsi študenti približno enake velikosti. Toda z razponom 26 cm takoj domnevamo, da so v vzorcu učenci vseh vmesnih višin. Ali je ta predpostavka vedno pravilna?

Slabosti dosega kot merilo razpršenosti

Če natančno pogledamo, je mogoče, da je v našem vzorcu 25 študentov inženirja samo eden meril 1,93, preostali 24 pa višine blizu 1,67 m.

Pa vendar doseg ostaja enak, čeprav je povsem možno ravno nasprotno: da je višina večine okoli 1,90 m, samo ena pa 1,67 m.

V obeh primerih je porazdelitev podatkov precej drugačna.

Slabosti obsega kot merilo razpršenosti so, ker uporablja le skrajne vrednosti in zanemarja vse druge. Ker je večina informacij izgubljena, nimate pojma, kako se delijo vzorčni podatki.

Druga pomembna lastnost je, da se obseg vzorca nikoli ne zmanjša. Če dodamo več informacij, torej upoštevamo več podatkov, se razpon poveča ali ostane enak.

Vsekakor pa je uporabna le pri delu z majhnimi vzorci, njegova edina uporaba kot merilo razpršenosti pri velikih vzorcih ni priporočljiva.

Treba ga je dopolniti z izračunom drugih razprševalnih ukrepov, ki upoštevajo podatke, ki jih zagotavljajo skupni podatki: interkvartilni razpon, variance, standardni odklon in koeficient variacije.

Interkvartilni domet, kvartilji in primer dela

Ugotovili smo, da je šibkost območja kot merilo razpršenosti ta, da uporablja le skrajne vrednosti porazdelitve podatkov, izpušča druge.

Da bi se izognili tej neprijetnosti, uporabljamo kvartile: tri vrednosti, znane kot meritve položaja.

Nerazvrščene podatke razdelijo na štiri dele (drugi široko uporabljeni pozicijski ukrepi so decilci in odstotki). To so njegove značilnosti:

-Prvi kvartil Q ₁ je vrednost podatkov tako, da je 25% vseh teh manj kot Q ₁ .

-Drugi kvartil Q ₂ je mediana porazdelitve, kar pomeni, da je polovica (50%) podatkov manjša od te vrednosti.

-Končno, tretji kvartil Q ₃ kaže, da se 75% podatkov najmanj Q ₃ .

Potem je interkvartilni razpon ali interkvartilni razpon opredeljen kot razlika med tretjim kvartilom Q ₃ in prvim kvartilom Q ₁ podatkov:

Interkvartilno območje = R _Q = Q ₃ - Q ₁

Na ta način skrajne vrednosti ne vplivajo tako na vrednost razpona R _Q. Zaradi tega je priporočljivo, da ga uporabljate pri obravnavi nagnjenih distribucij, kot so zgoraj opisani zelo visoki ali zelo kratki študenti.

- Izračun kvartilov

Obstaja več načinov, kako jih izračunati, tukaj bomo predlagali enega, vsekakor pa je treba vedeti številko naročila "N _o ", ki je mesto, ki ga v razdelitvi zaseda zadevni kvartil.

Če je na primer izraz, ki ustreza Q _1, je drugi, tretji ali četrti in tako naprej.

Prvi kvartil

N _ali (Q ₁ ) = (N + 1) / 4

Drugi kvartil ali mediana

N _ali (Q ₂ ) = (N + 1) / 2

Tretji kvartil

N _ali (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4

Kjer je N število podatkov.

Mediana je vrednost, ki je točno na sredini razdelitve. Če je število podatkov liho, ni težav pri iskanju, če pa je celo, potem se dve osrednji vrednosti povprečita, da postaneta ena.

Ko je izračunana številka naročila, se upošteva eno od teh treh pravil:

-Če ni decimalov, se iščejo podatki, navedeni v razdelitvi, in to bo iskan kvatil.

-Ko je številka naročila na polovici med dvema, se podatki, označeni s celotnim delom, povprečijo z naslednjimi podatki, rezultat pa je ustrezen četrt.

-V vsakem drugem primeru se zaokroži na najbližje celo število in to bo položaj četverice.

Delani primer

Na lestvici od 0 do 20 je skupina študentov matematike I s 16 študentom na srednjem izpitu zaslužila naslednje ocene:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Najti:

a) Obseg ali obseg podatkov.

b) Vrednosti kvartilov Q ₁ in Q ₃

c) Interkvartilni razpon.

Slika 2. Ali imajo ocene na tem matematičnem testu toliko variabilnih? Vir: Pixabay.

Rešitev za

Prva pot, ki jo morate najti, je, da podatke naročite v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu. Na primer v naraščajočem vrstnem redu imate:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Uporaba formule na začetku: R = x _max - x _min

R = 20 - 1 točka = 19 točk.

Glede na rezultat imajo te ocene veliko razpršitev.

Rešitev b

N = 16

N _ali (Q ₁ ) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4,25

To je številka z decimalnimi mesti, katere celoštevilčni del je 4. Nato gremo na razdelitev, iščemo podatke, ki zasedajo četrto mesto, njegova vrednost pa je povprečna s vrednostjo petega mesta. Ker sta oba 9, je tudi povprečje 9 in tako:

Q ₁ = 9

Zdaj ponovimo postopek za iskanje Q ₃ :

N _ali (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12,75

Spet je decimalka, a ker ni na polovici poti, je zaokrožena na 13. Iskani kvartil zaseda trinajsti položaj in je:

Q ₃ = 16

Rešitev c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 točk.

Kar je, kot lahko vidimo, veliko manjše od obsega podatkov, izračunanih v oddelku a), ker je bila najmanjša ocena 1 točka, vrednost veliko bolj od ostalih.

Reference

1. Berenson, M. 1985. Statistika za management in ekonomijo. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Verjetnost in statistika: Aplikacije in metode. McGraw Hill.
3. Devore, J. 2012. Verjetnost in statistika za inženirstvo in znanost. 8. Izdaja. Zveza.
4. Primeri kvartilov. Pridobljeno: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. Statistika za skrbnike. 2. Izdaja. Dvorana Prentice.
6. Walpole, R. 2007. Verjetnost in statistika za inženiring in znanosti. Pearson.