POLTROPNI POSTOPEK: ZNAČILNOSTI, APLIKACIJE IN PRIMERI - FIZIČNO - 2025

Politropično Postopek je termodinamični proces, ki se pojavi, ko je razmerje med tlakom P in prostornine V, ki jo PV ⁿ je konstantna. Eksponent n je resnično število, običajno med ničlo in neskončnostjo, v nekaterih primerih pa je lahko negativno.

Vrednost n se imenuje indeks politropije in pomembno je vedeti, da mora omenjeni indeks med politropnim termodinamičnim procesom vzdrževati fiksno vrednost, sicer postopek ne bo smatran kot politropni.

Slika 1. Karakteristična enačba poltropnega termodinamičnega procesa. Vir: F. Zapata.

Značilnosti politropnih procesov

Nekateri značilni primeri politropnih procesov so:

- Izotermalni postopek (pri konstantni temperaturi T), pri katerem je eksponent n = 1.

- Izobarični postopek (pri konstantnem tlaku P), v tem primeru n = 0.

- Izohorični postopek (pri konstantni prostornini V), pri katerem je n = + ∞.

- Adiabatni procesi (pri konstantni entropiji S), pri katerih je eksponent n = γ, kjer je γ adiabatska konstanta. Ta konstanta je količnik med toplotno zmogljivostjo s konstantnim tlakom Cp, deljeno s toplotno zmogljivostjo s konstantno prostornino Cv:

γ = Cp / Cv

- Vsak drugi termodinamični postopek, ki ni eden od prejšnjih primerov. toda če izpolnjujemo PV ⁿ = ctte z resničnim in konstantnim politropnim indeksom n, bo to tudi politropni proces.

Slika 2. Različni značilni primeri politropnih termodinamičnih procesov. Vir: Wikimedia Commons.

Prijave

Ena glavnih aplikacij poltropne enačbe je izračunavanje dela, ki ga opravi zaprti termodinamični sistem, ko prehaja iz začetnega stanja v končno stanje na kvazi statični način, torej po zaporedju ravnotežnih stanj.

Delo na politropnih procesih za različne vrednosti n

Za n ≠ 1

Mehansko delo W, ki ga izvaja zaprti termodinamični sistem, se izračuna z izrazom:

W = ∫P.dV

Kjer je P tlak in V volumen.

Tako kot v primeru poltropnega procesa je razmerje med tlakom in volumnom:

Mehansko delo izvajamo med postopkom politropiranja, ki se začne v začetnem stanju 1 in konča v končnem stanju 2. Vse to se pojavi v naslednjem izrazu:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Z zamenjavo vrednosti konstante v delovnem izrazu dobimo:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

V primeru, da je delovno snov mogoče modelirati kot idealen plin, imamo naslednjo enačbo stanja:

PV = mRT

Kjer je m število molov idealnega plina in R je univerzalna plinska konstanta.

Za idealnega plina, ki sledi politropično postopek s polytropy indeksa razlikuje od enotnosti in da prehaja iz stanja pri začetni temperaturi T ₁ v drugo državo s temperaturo T ₂ , opravljeno delo se izračuna po naslednji formuli:

W = mR (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Za n → ∞

Glede na formulo za delo, pridobljeno v prejšnjem razdelku, imamo, da je delo politropnega procesa z n = ∞ nično, ker je izraz dela razdeljen na neskončnost, zato rezultat teži k nič .

Drugi način je doseči razmerje P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , ki ga lahko zapišemo na naslednji način:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Ob n-ti korenini v vsakem članu dobimo:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

V primeru, da je n → ∞, imamo (V ₂ / V1) = 1, kar pomeni, da:

V ₂ = V ₁

To pomeni, da se volumen v politropnem procesu ne spreminja z n → ∞. Zato je razlika volumna dV v integralu mehaničnega dela 0. Ta vrsta poltropnih procesov je znana tudi kot izohorični procesi ali procesi s konstantno prostornino.

Za n = 1

Spet imamo izraz izraz za delo:

W = ∫P dV

V primeru poltropnega procesa z n = 1 je razmerje med tlakom in volumnom:

PV = konstanta = C

Z reševanjem P iz prejšnjega izraza in nadomeščanjem imamo opravljeno delo, da preidemo iz začetnega stanja 1 v končno stanje 2:

Se pravi:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Kot so dobro določena začetna in končna stanja, bo tako tudi ctte. Se pravi:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Končno imamo naslednje uporabne izraze, da najdemo mehansko delo zaprtega politropnega sistema, v katerem je n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Če je delovna snov sestavljena iz m molov idealnega plina, se lahko uporabi enačba idealnega plina: PV = mRT

Glede na to, da je PV ₁ = ctte, je poltropni proces z n = 1 proces pri konstantni temperaturi T (izotermičen), tako da lahko dobimo naslednje izraze za delo:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Slika 3. Talilna ička, primer izotermičnega procesa. Vir: Pixabay.

Primeri politropnih procesov

- Primer 1

Predpostavimo, da je valj s premičnim batom napolnjen z enim kilogramom zraka. Sprva zrak zaseda prostornino V ₁ = 0,2 m ³ pri tlaku P ₁ = 400 kPa. Sledi politropni postopek z n = γ = 1,4, katerega končno stanje ima tlak P ₂ = 100 kPa. Določite delo, ki ga zrak izvaja na batu.

Rešitev

Ko je indeks politropije enak adiabatski konstanti, pride do procesa, v katerem delovna snov (zrak) ne izmenjuje toplote z okoljem, zato se tudi entropija ne spremeni.

Za zrak, diatomski idealni plin, imamo:

γ = Cp / Cv, s Cp = (7/2) R in Cv = (5/2) R

Torej:

γ = 7/5 = 1,4

Z izražanjem politropnega postopka lahko določimo končni volumen zraka:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Zdaj imamo pogoje, da uporabimo formulo dela, opravljenega v politropnem postopku, za n ≠ 1, dobljeno zgoraj:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Nadomestitev ustreznih vrednosti:

Š = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Primer 2

Predpostavimo isti valj iz primera 1, s premičnim batom, napolnjenim z enim kilogramom zraka. Sprva zrak zaseda prostornino V1 = 0,2 m ³ pri tlaku P1 = 400 kPa. Toda za razliko od prejšnjega primera se zrak izotermalno širi in doseže končni tlak P2 = 100 kPa. Določite delo, ki ga zrak izvaja na batu.

Rešitev

Kot smo že videli, so izotermični procesi politropni procesi z indeksom n = 1, zato je res, da:

P1 V1 = P2 V2

Na ta način je mogoče končno količino zlahka odstraniti tako, da dobite:

V2 = 0,8 m ³

Nato z uporabo delovnega izraza, ki smo ga prej dobili za primer n = 1, ugotovimo, da je delo, ki ga v tem postopku opravi zrak na batu:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženirstvo in znanosti. Zvezek 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodinamika. 7. izdaja McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 4. Tekočine in termodinamika. Uredil Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Prvi zakon termodinamike. Pridobljeno: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fizika za znanstvenike in inženiring: strateški pristop. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Osnove fizike. 9. ed. Cengage Learning.
7. Univerza v Sevilli. Toplotni stroji. Pridobljeno: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Potrotropni postopek. Pridobljeno: wikiwand.com.