ARHIMEDOVO NAČELO: FORMULA, DOKAZ, APLIKACIJE - FIZIČNO - 2025

The Arhimed " načelo določa, da je organ v celoti ali delno potopljeni, leži navpično navzgor silo imenovano sila, ki je enaka maso volumna tekočine v telo premaknjeno.

Nekateri predmeti plavajo v vodi, nekateri se potopijo, nekateri pa delno potopijo. Za potapljanje žoge za plažo se je treba potruditi, saj takoj zaznamo tisto silo, ki jo skuša vrniti na površje. Namesto tega se kovinska krogla hitro potopi.

Slika 1. Plavajoči baloni: Arhimedov princip v akciji. Vir: Pixabay.

Po drugi strani se zdi, da so potopljeni predmeti lažji, zato obstaja sila, ki jo izvaja tekočina, ki nasprotuje teži. Toda gravitacije ne more vedno v celoti nadoknaditi. In čeprav je to bolj očitno z vodo, so plini sposobni proizvajati to silo tudi na predmete, potopljene v njih.

Zgodovina

Arhimed Sirakuze (287-212 pr.n.št.) je bil tisti, ki je gotovo odkril to načelo in bil eden največjih znanstvenikov v zgodovini. Govori se, da je sirakuški kralj Hieron II naročil zlatarju, naj zanj naredi novo krono, za kar mu je dal določeno količino zlata.

Arhimed

Ko je kralj prejel novo krono, je bila pravilna teža, toda sumil je, da ga je zlatar prevaral tako, da je namesto zlata dodal srebro. Kako bi to lahko dokazal, ne da bi uničil krono?

Hiero je poklical Archimedesa, katerega sloves učenjaka je bil dobro znan, da bi mu pomagal rešiti težavo. Legenda pravi, da je bil Archimedes potopljen v kad, ko je našel odgovor, in takšno je bilo njegovo čustvo, da je tekel gol po ulicah Sirakuze, da bi iskal kralja, kričal "eureka", kar pomeni "našel sem ga".

Kaj je našel Arhimed? No, pri kopanju se je nivo vode v kadi dvignil, ko je vstopil, kar pomeni, da potopljeno telo izpodriva določeno količino tekočine.

In če je krono potopil v vodo, je moral to tudi izpodriniti določeno količino vode, če je bila krona iz zlata in drugačna, če je bila narejena iz zlitine s srebrom.

Formula

Vlečna sila, ki jo omenja Archimedesov princip, je znana kot hidrostatična potiska ali plovna sila in, kot smo že rekli, je enaka teži volumna tekočine, ki jo telo izpodrine pri potapljanju.

Preseljeni volumen je enak prostornini predmeta, ki je potopljen, v celoti ali delno. Ker je masa česar koli v mg, masa tekočine pa gostota x prostornina, kar pomeni, da je potisk velikost potiska kot B, matematično imamo:

B = m _tekočina xg = gostota tekočine x Potopljena prostornina x gravitacija

B = ρ _tekočina x V _potopljena xg

Kjer grška črka ρ ("rho") označuje gostoto.

Navidezna teža

Teža predmetov se izračuna s pomočjo znanega mg izraza, vendar se stvari počutijo lažje, če jih potopimo v vodo.

Navidezna teža predmeta je tista, ki jo ima, ko je potopljen v vodo ali drugo tekočino in če poznamo, lahko dobimo volumen nepravilnega predmeta, kot je krona kralja Hiera, kot bo prikazano spodaj.

Če želite to narediti, je popolnoma potopljen v vodo in podvržen vrvici, pritrjeni na dinamometer - instrument, opremljen z vzmetjo, ki se uporablja za merjenje sil. Večja kot je teža predmeta, večje je raztezanje vzmeti, ki se meri v merilu, ki je v aparatu.

Slika 2. Navidezna teža potopljenega predmeta. Vir: pripravil F. Zapata.

Uporaba drugega zakona Newtona, vedoč, da je objekt v mirovanju:

ΣF _y = B + T - W = 0

Navidezna teža W _{a je} enaka napetosti v nizu T:

Ker potisk poravna težo, ker je del tekočine v mirovanju, potem:

Iz tega izraza izhaja, da je potisk posledica razlike tlakov med zgornjo stranjo jeklenke in spodnjo stranjo. Ker je W = mg = ρ tekočina. V. g, mora:

Kateri je ravno izraz za potisk, omenjen v prejšnjem razdelku.

Prijave

Arhimedov princip se pojavlja v številnih praktičnih aplikacijah, med katerimi lahko imenujemo:

- Aerostatični balon. Ki zaradi svoje povprečne gostote manjše od gostote okoliškega zraka plava v njej zaradi potisne sile.

- Ladje. Trup ladij je težji od vode. Če pa upoštevamo celoten trup in zrak znotraj, je razmerje med skupno maso in prostornino manjše od vode in to je razlog, da ladje plavajo.

- Reševalni jopiči. Ker so narejene iz lahkih in poroznih materialov, lahko lebdijo, ker je razmerje med maso in prostornino nižje od vode.

- Float za zapiranje pipe za polnjenje rezervoarja za vodo. To je krogla, napolnjena z zrakom velike prostornine, ki lebdi nad vodo, zaradi česar potisna sila - pomnožena z učinkom ročice - zapre pokrov polnilne pipe rezervoarja za vodo, ko doseže raven. skupaj.

Primeri

Primer 1

Legenda pravi, da je kralj Hiero zlatarju dal določeno količino zlata, da je naredil krono, vendar je nezaupljivi monarh menil, da je zlatar lahko varal, če je v krono postavil kovino, ki je manj vredna kot zlato. Toda kako je lahko vedel, ne da bi uničil krono?

Kralj je težavo zaupal Arhimedu in ta je v iskanju rešitve odkril njegovo znamenito načelo.

Recimo, da korona tehta 2,10 kg-f v zraku in 1,95 kg-f, če je popolnoma potopljena v vodo. Ali v tem primeru obstaja ali ni prevare?

Slika 5. Diagram prostega telesa krone kralja Herona. Vir: pripravil F. Zapata

Diagram sil je prikazan na zgornji sliki. Te sile so: teža P krošnje, potisk E in napetost T vrvi, ki visi s skale.

Znano je P = 2,10 kg-f in T = 1,95 kg-f, preostalo je določiti velikost potiska E :

Po drugi strani je po Arhimedovem principu potisk E enakovreden teži vode, ki je izrinjena iz prostora, ki ga zaseda krona, torej gostota vode, manjša od prostornine krošnje zaradi pospeška gravitacije:

Od kod lahko izračunamo prostornino venca:

Gostota krošnje je količnik med maso krošnje iz vode in njeno prostornino:

Gostoto čistega zlata lahko določimo s podobnim postopkom in rezultat je 19300 kg / m ^ 3.

Če primerjamo obe gostoti, je razvidno, da krona ni čisto zlato!

Primer 2

Na podlagi podatkov in rezultata primera 1 je mogoče določiti, koliko zlata je ukradel zlatar v primeru, da je del zlata zamenjal srebro, ki ima gostoto 10.500 kg / m ^ 3.

Gostoto krone bomo imenovali ρc, ρo gostota zlata in ρ _p gostota srebra.

Skupna masa krone je:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Skupna prostornina krone je prostornina srebra plus volumen zlata:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Enačba za maso je enaka:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

To pomeni, volumen zlata Vo, ki vsebuje krono celotne prostornine V, je:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0.00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

Da bi našli težo zlata, ki ga vsebuje krona, pomnožimo Vo z gostoto zlata:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Ker je masa krone 2,10 kg, vemo, da je zlatar ukradel 0,94858 kg zlata in ga nadomestil s srebrom.

Rešene vaje

Vaja 1

Ogromen helijev balon je sposoben držati človeka v ravnovesju (ne da bi šel gor ali dol).

Predpostavimo, da je teža osebe, skupaj s košaro, vrvmi in balonom 70 kg. Kolikšen volumen helija je potreben za to? Kako velik naj bo balon?

Rešitev

Domnevali bomo, da potisk nastane predvsem z volumnom helija in da je potisk ostalih komponent zelo majhen v primerjavi s helijem, ki zaseda veliko večjo prostornino.

V tem primeru bo potreben volumen helija, ki lahko zagotovi potisk 70 kg + teža helija.

Slika 6. Diagram prostega telesa balona, ​​napolnjenega s helijem. Vir: pripravil F. Zapata.

Potisk je produkt prostornine helija, ki je enak gostoti helija in pospeševanju gravitacije. Ta potisk mora izravnati težo helija in težo vseh ostalih.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

iz česar sklepamo, da je V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

To pomeni, da je pri atmosferskem tlaku potrebno 65,4 m ^ 3 helija.

Če predpostavimo sferični globus, lahko ugotovimo njegov polmer iz razmerja med prostornino in polmerom krogle:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Od kod R = 2,49 m. Z drugimi besedami, potreben je balon s premerom 5 m, napolnjen s helijem.

Vaja 2

V njej plavajo materiali z nižjo gostoto kot voda. Recimo, da imate polistiren (belo pluto), les in ledene kocke. Njihove gostote v kg na kubični meter so: 20, 450 in 915.

Ugotovite, kakšen delež celotne prostornine je zunaj vode in kako visok je nad površino vode, pri čemer vzemite 1000 kilogramov na kubični meter kot gostoto slednje.

Rešitev

Vzgon se pojavi, ko je teža telesa enaka potisku zaradi vode:

E = M⋅g

Slika 7. Diagram prostega telesa delno potopljenega predmeta. Vir: pripravil F. Zapata.

Teža je gostota telesa Dc pomnožena z njeno prostornino V in s pospeškom gravitacije g.

Potisk je teža tekočine, ki se izpodrine po Arhimedovem principu in se izračuna tako, da se gostota D vode pomnoži s potopljenim volumnom V 'in s pospeševanjem gravitacije.

To je:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Kar pomeni, da je potopljeni volumski delež enak količniku med gostoto telesa in gostoto vode.

Se pravi, izjemna prostornina (V '' / V)

Če je h višina previsa, L pa stran kocke, lahko volumenski del zapišemo kot

Rezultati naročenih materialov so torej:

Polistiren (bela pluta):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% iz vode

Les:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% iz vode

Led:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% iz vode

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženirstvo in znanosti. Zvezek 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Mehanika tekočin. Osnove in aplikacije. Prva izdaja. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 4. Tekočine in termodinamika. Uredil Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mehanika tekočin in hidravlika. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fizika: pojmi in aplikacije. 7. izdaja McGraw Hill.