- množenje realno število a vektor V : α proti daje drug vektor in pripada V .

Umetniška vizija vektorskega prostora. Vir: Pixabay

Za označevanje vektorja uporabljamo krepko ( v je vektor), za skalarje ali številke pa grške črke (α je število).

Aksiomi in lastnosti

Za dajanje vektorskega prostora mora biti v naslednjih osmih aksiomih:

1-komutabilnost: u + v = v + u

2-prehodnost: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-obstoj ničelnega vektorja 0 tak, da je 0 + v = v

4 -obstoj nasprotnega: nasprotje v je (- v ), saj je v + (- v ) = 0

5-Razdelitev produkta glede na vektorsko vsoto: α ( u + v ) = α u + α v

6-Razdelitev izdelka glede na skalarno vsoto: (α + β) v = α v + β v

7-asociativnost skalarnega produkta: α (β v ) = (α β) v

8-Število 1 je nevtralni element, saj: 1 v = v

Primeri vektorskih prostorov

Primer 1

Vektorji v (R²) ravnini so primer vektorskega prostora. Vektor v ravnini je geometrijski objekt, ki ima velikost in smer. Predstavljen je z usmerjenim segmentom, ki pripada omenjeni ravnini in z velikostjo, sorazmerno z njegovo velikostjo.

Vsoto dveh vektorjev v ravnini lahko določimo kot operacijo geometričnega prevajanja drugega vektorja po prvem. Rezultat vsote je usmerjeni segment, ki se začne od nastanka prvega in doseže vrh drugega.

Na sliki je razvidno, da je vsota v R² komutativna.

Slika 2. Vektorji v ravnini tvorijo vektorski prostor. Vir: self made.

Določen je tudi produkt števila α in vektorja. Če je število pozitivno, se smer prvotnega vektorja obdrži in velikost je α-krat večja od izvornega vektorja. Če je število negativno, je smer nasprotna, velikost dobljenega vektorja pa je absolutna vrednost števila.

Vektor nasproti kateremu koli vektorju v je - v = (- 1) v .

Ničelni vektor je točka v ravnini R² in število nič, kolikokrat vektor daje ničelni vektor.

Vse, kar je bilo rečeno, je prikazano na sliki 2.

Primer 2

Množica P vseh polinomov stopinj, manjša ali enaka dvema, vključno s stopnjo ničlo, tvori množico, ki izpolnjuje vse aksiome vektorskega prostora.

Naj polinom P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Določena je vsota dveh polinomov: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Vsota polinomov, ki pripadajo množici P, je komutativna in tranzitivna.

Ničelni polinom, ki pripada množici P, je tisti, ki ima vse koeficiente enake nič:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Vsota skalarnega α v polinomu je opredeljena kot: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Nasprotni polinom P (x) je -P (x) = (-1) P (x).

Iz vsega zgoraj navedenega izhaja, da je množica P vseh polinomov stopinj manjša ali enaka dvema vektorski prostor.

Primer 3

Sklop M vseh matrik m vrstic xn stolpce, katere elementi so realne številke se tvori dejanski vektorski prostor, v zvezi z operacijami z dodatkom matrik in produkta iz številnih ga matriksu.

Primer 4

Nabor F neprekinjenih funkcij realne spremenljivke tvori vektorski prostor, saj je mogoče določiti vsoto dveh funkcij, množenje skalarja s funkcijo, ničelno funkcijo in simetrično funkcijo. Izpolnjujejo tudi aksiome, ki označujejo vektorski prostor.

Osnova in dimenzija vektorskega prostora

Podnožje

Osnova vektorskega prostora je definirana kot niz linearno neodvisnih vektorjev, tako da je iz linearne kombinacije le-teh mogoče ustvariti kateri koli vektor tega vektorskega prostora.

Linearno kombiniranje dveh ali več vektorjev je sestavljeno iz množenja vektorjev na nekaj skalarja in nato vektorsko dodajanje.

Na primer, v vektorskem prostoru vektorjev v treh dimenzijah, ki jih tvori R³, se uporablja kanonična osnova, ki jo definirajo enotni vektorji (z velikostjo 1) i , j , k .

Kadar i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). To so kartezijanski ali kanonski vektorji.

Vsak vektor V, ki pripada R³, zapišemo kot V = a i + b j + c k , kar je linearna kombinacija osnovnih vektorjev i , j , k . Skalarno ali številke A, B, C, so znane kot kartezijskih komponent V .

Rečeno je tudi, da osnovni vektorji vektorskega prostora tvorijo generatorski sklop vektorskega prostora.

Dimenzija

Dimenzija vektorskega prostora je kardinalna številka vektorske osnove za ta prostor; torej število vektorjev, ki sestavljajo omenjeno bazo.

Ta kardinal je največje število linearno neodvisnih vektorjev tega vektorskega prostora in hkrati minimalno število vektorjev, ki tvorijo generatorski sklop tega prostora.

Osnove vektorskega prostora niso edinstvene, vendar imajo vse baze istega vektorskega prostora enako dimenzijo.

Vektorski podprostor

Vektorski podprostor S vektorskega prostora V je podmnožica V, v kateri so definirane enake operacije kot v V in izpolnjujejo vse aksiome vektorskega prostora. Zato bo podprostor S tudi vektorski prostor.

Primer vektorskega podprostora so vektorji, ki pripadajo ravnini XY. Ta podprostor je podmnožica vektorskega prostora dimenzij, ki je večji od množice vektorjev, ki pripadajo tridimenzionalnemu prostoru XYZ.

Spodaj je opredeljen drug primer vektorskega podprostora S1 vektorskega prostora S, ki ga tvorijo vse 2 × 2 matrike z resničnimi elementi:

Po drugi strani pa S2, opredeljen spodaj, čeprav je podvrsta S, ne tvori vektorskega podprostora:

Rešene vaje

-Vežba 1

Naj bodo vektorji V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) in V3 = (0, 0, 3) v R³.

a) Pokažite, da so linearno neodvisne.

b) Pokažite, da tvorijo osnovo v R³, saj lahko katero koli trojko (x, y, z) zapišemo kot linearno kombinacijo V1, V2, V3.

c) Poiščite sestavine trojice V = (-3,5,4) v bazi V1 , V2 , V3 .

Rešitev

Kriterij za prikaz linearne neodvisnosti je sestavljen iz določitve naslednjega niza enačb v α, β in γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

V primeru, da je edina rešitev tega sistema α = β = γ = 0, so vektorji linearno neodvisni, sicer niso.

Za pridobitev vrednosti α, β in γ predlagamo naslednji sistem enačb:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Prvi vodi k α = 0, drugi α = -2 ∙ β, ker pa je α = 0, potem je β = 0. Tretja enačba pomeni, da je γ = (- 1/3) β, ker pa je β = 0, potem je γ = 0.

Odgovor na

Zaključeno je, da gre za niz linearno neodvisnih vektorjev v R³.

Odgovor b

Zdaj napišimo trojko (x, y, z) kot linearno kombinacijo V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Kje imate:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Prva označuje α = x, druga β = (yx) / 2 in tretja γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Na ta način smo našli generatorje α, β in γ katere koli trojice R3

Odgovor c

Pojdimo naprej, da poiščemo komponente trojnega V = (-3,5,4) v bazi V1 , V2 , V3 .

Ustrezne vrednosti zamenjamo z izrazi, ki jih najdemo zgoraj za generatorje.

V tem primeru imamo: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

To je:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Zadnjič:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Sklepamo, da V1, V2, V3 tvorijo osnovo v vektorskem prostoru R³ dimenzije 3.

-Vežba 2

Polinom P (t) = t² + 4t -3 izrazimo kot linearno kombinacijo P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t in P3 (t) = t + 3.

Rešitev

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

kjer je treba določiti številke x, y, z.

Z množenjem in združevanjem izrazov z isto stopnjo v t dobimo:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Kar nas vodi do naslednjega sistema enačb:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Rešitve tega sistema enačb so:

x = -3, y = 2, z = 4.

To je:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Vežba 3

Pokažite, da so vektorji v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) in v3 = (2, 1, -1, 1) R⁴ so linearno neodvisni.

Rešitev

Linearno kombiniramo tri vektorje v1 , v2 , v3 in zahtevamo, da kombinacija doda ničelni element R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

To pomeni,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

To nas pripelje do naslednjega sistema enačb:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Če odštejemo prvo in četrto, imamo: -a + c = 0, kar pomeni a = c.

Toda če pogledamo tretjo enačbo, imamo to a = -c. Edini način, da drži a = c = (- c), je, da je c 0 in torej bo tudi 0.

a = c = 0

Če ta rezultat priključimo v prvo enačbo, potem sklepamo, da je b = 0.

Končno a = b = c = 0, tako da je mogoče sklepati, da so vektorji v1, v2 in v3 linearno neodvisni.

Reference

1. Lipschutz, S. 1993. Linearna algebra. Druga izdaja McGraw-Hill. 167-198.