- Formula
- Evklidska razdalja v dveh dimenzijah
- Neevklidske površine
- Evklidska razdalja v n dimenzijah
- Kako izračunati evklidsko razdaljo
- Primer
- Reference
Evklidska razdalja je pozitivno število, ki označuje razdaljo med dvema točkama v prostoru, kjer so izpolnjeni aksiomi in izreki geometrije Evklidovega.
Razdalja med dvema točkama A in B v evklidskem prostoru je dolžina vektorja AB, ki pripada edini premici, ki poteka skozi te točke.
Slika 1. Enodimenzionalni evklidski prostor, tvorjen s črto (OX). Na omenjenem prostoru, njihovih koordinatah in razdaljah je prikazanih več točk. (Pripravil Ricardo Pérez).
Prostor, ki ga ljudje zaznavamo in kamor se premikamo, je tridimenzionalni (3-D) prostor, kjer so izpolnjeni aksiomi in izrekami Euklidove geometrije. Dvodimenzionalni podprostori (ravnine) in enodimenzionalni podprostori (črte) so v tem prostoru.
Evklidski prostori so lahko enodimenzionalni (1-D), dvodimenzionalni (2-D), tridimenzionalni (3-D) ali n-dimenzionalni (nD).
Točke v enodimenzionalnem prostoru X so tiste, ki pripadajo orientirani liniji (OX), smer od O do X je pozitivna smer. Za iskanje točk na tej črti se uporablja kartuzijanski sistem, ki je sestavljen iz dodelitve številki vsaki točki premice.
Formula
Evklidska razdalja d (A, B) med točkama A in B, ki se nahaja na premici, je definirana kot kvadratni koren kvadrata razlik v njihovih X koordinatah:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Ta opredelitev zagotavlja, da: razdalja med dvema točkama je vedno pozitivna količina. In da je razdalja med A in B enaka razdalji med B in A.
Slika 1 prikazuje enodimenzionalni evklidov prostor, ki ga tvori črta (OX) in več točk na omenjeni premici. Vsaka točka ima koordinat:
Točka A ima koordinato XA = 2,5, točka B koordinato XB = 4 in točka C koordinato XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Evklidska razdalja v dveh dimenzijah
Dvodimenzionalni evklidski prostor je ravnina. Točke evklidske ravnine izpolnjujejo aksiome evklidske geometrije, na primer:
- Ena črta poteka skozi dve točki.
- Tri točke na ravnini tvorijo trikotnik, katerega notranji koti vedno segajo do 180 °.
- V desnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov njegovih nog.
V dveh dimenzijah ima točka koordinate X in Y.
Točka P ima na primer koordinate (XP, YP) in koordinate točke Q (XQ, YQ).
Evklidska razdalja med točko P in Q je določena z naslednjo formulo:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Treba je opozoriti, da je ta formula enakovredna pitagorejskemu izreku, kot je prikazano na sliki 2.
Slika 2. Razdalja med dvema točkama P in Q v ravnini izpolnjuje pitagorejski izrek. (Pripravil Ricardo Pérez).
Neevklidske površine
Vsi dvodimenzionalni prostori niso skladni z evklidsko geometrijo. Površina krogle je dvodimenzionalni prostor.
Koti trikotnika na sferični površini ne segajo do 180 ° in s tem pitagorejski izrek ni izpolnjen, torej sferična površina ne izpolnjuje Evklidovih aksiomov.
Evklidska razdalja v n dimenzijah
Koncept koordinat lahko razširimo na večje dimenzije:
- V dvotirni točki P ima koordinate (XP, YP)
- V 3-D točka Q ima koordinate (XQ, YQ, ZQ)
- V 4-D bo točka R imela koordinate (XR, YR, ZR, WR)
- V nD bo točka P imela koordinate (P1, P2, P3,… .., Pn)
Razdalja med dvema točkama P in Q n-dimenzionalnega evklidskega prostora se izračuna po naslednji formuli:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokus vseh točk Q v n-dimenzionalnem evklidskem prostoru, ki je enakomerno oddaljen od druge fiksne točke P (v sredini), tvori n-dimenzionalno hipersfero.
Kako izračunati evklidsko razdaljo
V nadaljevanju je prikazano, kako se izračuna razdalja med dvema točkama, ki se nahajata v evklidskem tridimenzionalnem prostoru.
Predpostavimo, da je točka A kartezijanskih koordinat x, y, z, ki jih damo A :( 2, 3, 1) in točka B koordinat B :( -3, 2, 2).
Ugotoviti želimo razdaljo med temi točkami, za katere se uporablja splošno razmerje:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196
Primer
Obstajata dve točki P in Q. Točka P kartezijanskih koordinat x, y, z, ki jo damo P :( 2, 3, 1) in točka Q koordinat Q :( -3, 2, 1).
Poišče se koordinate sredine točke M segmenta, ki povezujeta obe točki.
Domneva se, da ima neznana točka M koordinate (X, Y, Z).
Ker je M sredina točke, mora biti res, da mora biti d (P, M) = d (Q, M), torej mora biti tudi d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Tako kot je v tem primeru tretji izraz enak v obeh članih, je tudi prejšnji izraz poenostavljen:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Nato imamo enačbo z dvema neznanima X in Y. Za rešitev problema je potrebna enačba.
Točka M pripada premici, ki poteka skozi točki P in Q, ki jo lahko izračunamo na naslednji način:
Najprej najdemo režiserjev vektor PQ vrstice: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Potem je PM = OP + a PQ , kjer je OP pozicijski vektor točke P in je parameter, ki pripada dejanskim številom.
Zgornja enačba je znana kot vektorska enačba premice, ki ima v kartezijanskih koordinatah naslednjo obliko:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Enačenje ustreznih komponent imamo:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
To je X = 4 - 5a, Y = 6 - a, končno Z = 1.
Nadomeščen je s kvadratnim izrazom, ki se nanaša na X na Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Poenostavljeno je:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Zdaj se odpre:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Poenostavljeno je, pri obeh članih prekličete podobne izraze:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parameter a je počiščen:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, kar ima za posledico a = 1.
Se pravi X = 4 - 5, Y = 6 - 1, končno Z = 1.
Končno dobimo kartezijanske koordinate sredine točke M odseka:
M: (-1,5,5).
Reference
- Lehmann C. (1972) Analitična geometrija. UTEHA.
- Superprof. Razdalja med dvema točkama. Pridobljeno: superprof.es
- UNAM. Razdalja med afine sublinearnih razdelilcev. Pridobljeno: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Evklidska razdalja. Pridobljeno: es.wikipedia.com
- wikipedia. Evklidski prostor. Pridobljeno: es.wikipedia.com