IZVEDBA KOTANGENTA: IZRAČUN, DOKAZ, VAJE - MATEMATIKA - 2025

Derivat s kotangens je enaka nasproti kvadrata cosecant "-Csc ² ". Ta formula upošteva zakone izpeljave po definiciji in razlikovanju trigonometričnih funkcij. Označena je na naslednji način:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Kjer "du" simbolizira izraz, ki izhaja iz funkcije argumenta, glede na neodvisno spremenljivko.

Vir: Pixabay.com

Kako se izračuna?

Postopek za razvoj teh derivatov je dokaj preprost. Dovolj je samo, da pravilno ugotovite argument in vrsto funkcije, ki jo predstavlja.

Na primer, izraz Ctg (f / g) ima v svojem argumentu razdelitev. To bo zahtevalo razlikovanje glede U / V, potem ko bo izpeljan derivat kotangenta.

Kotangens je vzajemen tangenta. Algebracijsko to pomeni, da:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Napačno je reči, da je funkcija kotangenta "inverzna" tangenta. To je zato, ker je funkcija inverzne tangenta po definiciji ločna tangenta.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Po pitagorovski trigonometriji je kotangens vključen v naslednje odseke:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Po analitični trigonometriji se odziva na naslednje identitete:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Značilnosti funkcije kotangenta

Potrebno je analizirati različne značilnosti funkcije f (x) = ctg x, da bi opredelili vidike, potrebne za preučitev njene diferencialnosti in uporabe.

Navpične asimptote

Funkcija kotangenta ni definirana na vrednostih, zaradi katerih je izraz "Senx" enak nič. Zaradi enakovredne vrednosti Ctg x = (cos x) / (sin x) bo imel nedoločnost v vseh "nπ", pri čemer n pripada celim številom.

To pomeni, da bo v vsaki od teh vrednosti x = nπ vertikalna asimptota. Ko se približate z leve, se bo vrednost kotangenta hitro zmanjševala, ko pa se približate na desni, se bo funkcija povečala v nedogled.

Domena

Domena funkcije kotangenta je izražena z množico {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. To se bere kot "x, ki pripada množici realnih števil, tako da je x drugačno od nπ, pri čemer n pripada množici celih števil".

Uvrstitev

Obseg funkcije kotangenta je od minus do plus neskončnost. Zato lahko sklepamo, da je njen rang množica realnih števil R.

Frekvenca

Funkcija kotangenta je periodična in njeno obdobje je enako π. Na ta način je izpolnjena enakost Ctg x = Ctg (x + nπ), kjer n pripada Z.

Obnašanje

To je liha funkcija, saj je Ctg (-x) = - Ctg x. Na ta način je znano, da funkcija predstavlja simetrijo glede na koordinatni izvor. Prav tako predstavlja zmanjšanje vsakega intervala med dvema zaporednima navpičnima asimptotama.

Nima največjih ali minimalnih vrednosti zaradi dejstva, da njegovi približki navpičnih asimptotov predstavljajo vedenja, kjer se funkcija v nedogled poveča ali zmanjša.

Zero ali korenine kotangenske funkcije najdemo pri neparnih množicah π / 2. To pomeni, da Ctg x = 0 velja za vrednosti obrazca x = nπ / 2 z n lih celim številom.

Demonstracija

Obstajata dva načina dokazovanja izpeljane funkcije kotangenta.

Trigonometrični diferencialni dokaz

Dokazan je izvod funkcije kotangenta iz njegovega ekvivalenta v sinusih in kosinusih.

Obravnava se kot izpeljanka delitve funkcij

Po izpeljavi so dejavniki združeni in njihov cilj je posnemati pitagorejske identitete

Zamenjava identitet in uporaba vzajemnosti, izraz

Dokaz po definiciji izpeljanke

Naslednji izraz ustreza izpeljanki po definiciji. Kjer se razdalja med dvema točkama funkcije približa ničli.

Namestitev kotangenta imamo:

Za vsoto argumentov in vzajemnosti se uporabljajo identitete

Tradicionalno se uporablja del števca

Če odpravimo nasprotne elemente in vzamemo skupni dejavnik, dobimo

Uporaba pitagorejske identitete in vzajemnosti moramo

Elementi, ocenjeni v x, so glede na mejo konstantni, zato lahko zapustijo argument tega. Nato se uporabijo lastnosti trigonometričnih meja.

Omejitev je ovrednotena

Nato se upošteva, dokler ne dosežemo želene vrednosti

Izvedba kotangenta je tako prikazana kot nasprotje kvadrata kosecanta.

Rešene vaje

Vaja 1

Na podlagi funkcije f (x) določite izraz f '(x)

Ustrezno izpeljava se uporablja ob upoštevanju verižnega pravila

Izvajanje argumenta

Včasih je za prilagajanje rešitev potrebno uporabiti vzajemne ali trigonometrične identitete.

Vaja 2

Določite diferenčni izraz, ki ustreza F (x)

Po formuli izpeljave in spoštovanju verižnega pravila

Argument je izpeljan, ostalo pa ostaja enako

Izvajanje vseh elementov

Na tradicionalen način deluje izdelke iste baze

Dodajo se enaki elementi in izvleče skupni faktor

Znaki so poenostavljeni in delujejo. Dajanje poti do popolnoma izpeljanega izraza

Reference

1. Trigonometrična serija, letnik 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Izračun ene same spremenljivke. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
3. Izračun s trigonometrijo in analitično geometrijo. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
4. Multivarijabilna analiza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. dec. 2010
5. Dinamika sistema: modeliranje, simulacija in nadzor mehatronskih sistemov. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mar 2012
6. Izračun: Matematika in modeliranje. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. januarja 1999