VEKTOR: ZNAČILNOSTI IN LASTNOSTI, ELEMENTI, VRSTE, PRIMERI - ZNANOST - 2025

V vektorji so matematične entitete, ki so na splošno, ki jih spremlja obseg in smer merski enoti -positiva- dobro. Takšne značilnosti so zelo primerne za opis fizičnih količin, kot so hitrost, sila, pospešek in še veliko več.

Z vektorji je mogoče izvajati operacije, kot so seštevanje, odštevanje in izdelki. Delitev ni določena za vektorje, kar zadeva izdelek, pa bomo v nadaljevanju opisali tri razrede: izdelek ali točka, pika, vektorski izdelek ali križ in proizvod skalarja z vektorjem.

Slika 1. Elementi vektorja. Vir: Wikimedia Commons.

Za popolno opisovanje vektorja je treba navesti vse njegove značilnosti. Velikost ali modul je številčna vrednost, ki jo spremlja enota, smer in smisel pa določita s pomočjo koordinatnega sistema.

Poglejmo primer: predpostavimo, da letalo leti iz enega mesta v drugo s hitrostjo 850 km / h v smeri NE. Tu imamo popolnoma določen vektor, saj je na voljo magnituda: 850 km / h, smer in občutek pa NE.

Vektorji so ponavadi grafično predstavljeni z usmerjenimi odseki črt, katerih dolžina je sorazmerna z obsegom.

Medtem ko je treba določiti smer in smisel, je potrebna referenčna črta, ki je običajno vodoravna os, čeprav se kot referenca lahko vzame tudi sever, tak primer je hitrost ravnine:

Slika 2. Vektor hitrosti. Vir: F. Zapata.

Slika prikazuje hitrost vektor letala, označena kot V v mastnem tisku , da se razlikuje od skalarni količine, ki zahteva le številčne vrednosti in neke enote je treba določiti.

Elementi vektorja

Kot smo že rekli, so elementi vektorja:

-Veličino ali modul, ki ga včasih imenujemo tudi absolutna vrednost ali norma vektorja.

-Naslov

-Sense

V primeru na sliki 2 je modul v 850 km / h. Modul je označen kot v brez krepkih ali kot - v -, kjer palice predstavljajo absolutno vrednost.

Smer v je določena glede na sever. V tem primeru je 45 ° severno od vzhoda (45 ° SZ). Končno puščica puščice obvesti o občutku v .

V tem primeru je bil izrisan izvor vektorja, ki sovpada z izvorom O koordinatnega sistema, kar je znano kot vezni vektor. Po drugi strani pa, če izvor vektorja ne sovpada z referenčnim sistemom, naj bi bil prosti vektor.

Za popolno določitev vektorja je treba upoštevati te tri elemente, sicer bi bil opis vektorja nepopoln.

Pravokotne sestavine vektorja

Slika 3. Pravokotne sestavine vektorja v ravnini. Vir: Wikimedia Commons. uranther

Na sliki imamo nazaj svoj primer vektor v , ki je v ravnini xy.

Zlahka je videti, da projekcije v na koordinatni osi x in y določajo pravi trikotnik. Te projekcije so v _{y in} v _x in jih imenujemo pravokotne sestavine v .

Eden od načinov označevanja v s pravokotnimi komponentami je naslednji: v =x, v _in >. Ti oklepaji se uporabljajo namesto oklepajev, da poudarijo dejstvo, da gre za vektor in ne za obdobje, saj bi v tem primeru uporabili oklepaje.

Če je vektor v tridimenzionalnem prostoru, je potrebna še ena komponenta, tako da:

v =x, v _y , v _z >

Poznavanje pravokotne komponente se izračuna velikost vektorja, kar ustreza iskanju hipotenuza na desni trikotnik, katerega noge so proti _x in proti _{in .} S pomočjo pitagorejskega izrekanja sledi:

Polarna oblika vektorja

Ko sta znani magnituda vektorja - v - in kota θ, ki ga naredi z referenčno osjo, navadno vodoravno osjo, je določen tudi vektor. Nato naj bi vektor izrazil v polarni obliki.

Pravokotne sestavne dele v tem primeru enostavno izračunamo:

Glede na zgoraj navedeno bi bile pravokotne sestavine vektorja hitrosti v ravnine:

Vrste

Obstaja več vrst vektorjev. Obstajajo vektorji hitrosti, položaja, premika, sile, električno polje, zagon in še veliko več. Kot smo že rekli, v fiziki obstaja veliko število vektorskih količin.

Glede vektorjev, ki imajo določene značilnosti, lahko omenimo naslednje vrste vektorjev:

-Nell : to so vektorji, katerih magnituda je 0 in so označena kot 0. Ne pozabite, da krepka črka simbolizira tri temeljne značilnosti vektorja, medtem ko običajna črka predstavlja samo modul.

Na primer, na telesu v statičnem ravnovesju mora biti vsota sil ničelni vektor.

- Prosti in povezani : prosti vektorji so tisti, katerih mesta nastanka in prihoda so kateri koli par točk v ravnini ali prostoru, za razliko od povezanih vektorjev, katerih izvor sovpada z referenčnim sistemom, ki se uporablja za njihovo opisovanje.

Par ali trenutek, ki ga ustvari par sil, je dober primer prostega vektorja, saj par ne velja za nobeno določeno točko.

- Equipolentes : gre za dva prosta vektorja, ki imata enake lastnosti. Zato imajo enako velikost, smer in občutek.

- Coplanar ali coplanar : vektorji, ki pripadajo isti ravnini.

- Nasprotja : vektorji z enako velikostjo in smerjo, vendar v nasprotnih smereh. Vektor nasproti vektorja v je vektor - v in vsota obeh je ničelni vektor: v + (- v ) = 0 .

- Sočasno : vektorji, katerih vrstice delovanja potekajo skozi isto točko.

- Drsniki : so tisti vektorji, katerih uporabniška točka lahko drsi po določeni črti.

- Kolinearni : vektorji, ki se nahajajo na isti črti.

- enotni : tisti vektorji, katerih modul je 1.

Ortogonalni vektorji enot

V fiziki obstaja zelo uporabna vrsta vektorja, ki se imenuje ortogonalni enotni vektor. Vektor ortogonalnih enot ima modul, ki je enak 1, enote pa so lahko poljubne, na primer hitrosti, legi, sili ali druge.

Obstaja nabor posebnih vektorjev, ki pomagajo enostavno predstavljati druge vektorje in izvajati operacije z njimi: so vektorji pravokotne enote i , j in k , enota in pravokotni drug na drugega.

V dveh dimenzijah so ti vektorji usmerjeni vzdolž pozitivne smeri osi x in osi y. In v treh dimenzijah je v smeri pozitivne z osi dodan enotni vektor. Predstavljeni so na naslednji način:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektorje lahko predstavimo s pomočjo enotnih vektorjev i , j in k, kot sledi:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Na primer, vektor hitrosti v v prejšnjih primerih lahko zapišemo kot:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Komponenta v k ni potrebna, saj je ta vektor v ravnini.

Vektorski dodatek

V različnih situacijah se vsota vektorjev pojavlja zelo pogosto, na primer, ko želite najti nastalo silo na predmetu, na katerega vplivajo različne sile. Za začetek predpostavimo, da imamo na ravnini dva prosta vektorja u in v , kot je prikazano na naslednji sliki na levi:

Slika 4. Grafična vsota dveh vektorjev. Vir: Wikimedia Commons. Lluc kabanak.

Takoj se previdno prenese na vektor v , ne da bi spremenil njegovo velikost, smer ali občutek, tako da njegov izvor sovpada s koncem u .

Vsota obeh vektorjev se imenuje W in je sestavljen, izhajajoč iz u konča v V skladu s pravo sliko. Pomembno je opozoriti, da velikost vektorja w ni nujno vsota velikosti v in u .

Če dobro premislite, je edini čas, ko je velikost dobljenega vektorja vsota velikosti dodatkov, ko sta oba dodatka v isti smeri in imata isti smisel.

In kaj se zgodi, če vektorji niso prosti? Prav tako jih je zelo enostavno dodati. Način za to je z dodajanjem komponente komponenti ali analitični metodi.

Kot primer si oglejmo vektorje na naslednji sliki, prva stvar je, da jih izrazimo na enega izmed kartezijanskih načinov, ki so bili prej pojasnjeni:

Slika 5. Vsota dveh povezanih vektorjev. Vir: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

u = <2,3>

Če želite pridobiti x komponento vektorja vsote w , dodajte ustrezni x komponenti v in u : w _x = 5 + 2 = 7. In za pridobitev w _y sledimo analogni postopek: w _y = 1 + 3. Tako:

u = <7.4>

Lastnosti vektorskega dodajanja

-Vsota dveh ali več vektorjev povzroči drug vektor.

-To je komutativno, vrstni red dodatkov ne spremeni vsote na tak način, da:

u + v = v + u

- Nevtralni element vsote vektorjev je ničelni vektor: v + 0 = v

- odštevanje dveh vektorjev je opredeljeno kot vsota nasprotnega: v - u = v + (-u)

Primeri vektorjev

Kot smo že rekli, v fiziki obstajajo številne vektorske količine. Med najbolj znanimi so:

-Posicija

-Razložitev

-Srednja in trenutna hitrost

-Pospešek

-Sili na silo

-Količina gibanja

-Torek ali trenutek sile

-Impulz

-Električno polje

-Magnetno polje

-Magnetni trenutek

Po drugi strani niso vektorji, ampak skalarji:

-Vreme

-Mass

-Temperatura

-Veliko

-Gustina

- Mehansko delo

-Energija

-Dobro

- Moč

-Napetost

-Električni tok

Druge operacije med vektorji

Poleg seštevanja in odštevanja vektorjev obstajajo še tri zelo pomembne operacije med vektorji, ker povzročajo nove zelo pomembne fizične količine:

-Proizvod skalarja z vektorjem.

-Potrovni izdelek ali izdelek s pikami med vektorji

-In križni ali vektorski izdelek med dvema vektorjema.

Izdelek skalarja in vektorja

Razmislite o Newtonovem drugem zakonu, ki pravi, da sta sila F in pospešek a sorazmerni. Konstanta sorazmernosti je masa m predmeta, zato:

F = m. do

Maša je skalarna; Sila in pospeški so vektorji. Ker silo dobimo z množenjem mase s pospeškom, je rezultat produkta skalarja in vektorja.

Ta vrsta izdelka ima vedno vektor. Tu je še en primer: količina gibanja. Naj je P vektor impulza, v vektor hitrosti, in kot vedno je m masa:

P = m. v

Izdelek ali pika izdelek med vektorji

Mehansko delo smo uvrstili na seznam količin, ki niso vektorji. Vendar je delo v fiziki rezultat delovanja med vektorji, ki se imenujejo skalarni izdelek, notranji izdelek ali pika.

Naj vektorja v in u določita piko ali skalarni produkt med njima kot:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Kjer je θ kot med obema. Iz prikazane enačbe je takoj razvidno, da je rezultat točkovnega produkta skalarni in da je, če sta oba vektorja pravokotna, njihov pični izdelek enak 0.

Nazaj na mehansko delo W je to skalarni izdelek med vektorjem sile F in premičnim vektorjem ℓ .

Kadar so na voljo vektorji glede na njihove sestavine, je pik izdelek tudi zelo enostavno izračunati. Če je v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, pični izdelek med obema je:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Izdelek pik med vektorji je komutativen, zato:

v ∙ u = u ∙ v

Prečni izdelek ali vektorski izdelek med vektorji

Če sta v in u naša dva primerna vektorja, definiramo vektorski izdelek kot:

v x u = w

Takoj sledi, da ima navzkrižni izdelek vektor, katerega modul je opredeljen kot:

Kjer je θ kot med vektorji.

Križni izdelek ni komutativen, zato v x u ≠ u x v. Pravzaprav v x u = - (u x v).

Če sta dva primerna vektorja izražena z enotnimi vektorji, je izračun vektorskega produkta olajšan:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Prečkajte izdelke med enotami

Rezultat navzkriž med enakimi vektorji enot je nič, saj je kot med njimi 0 °. Toda med različnimi vektorji enot je kot med njimi 90 ° in sin 90 ° = 1.

Naslednji diagram pomaga najti te izdelke. V smeri puščice ima pozitivno smer, v nasprotni smeri pa negativno:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Z uporabo lastnosti distribucije, ki še vedno velja za izdelke med vektorji in lastnostmi enotnih vektorjev, imamo:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Rešene vaje

- Vaja 1

Glede na vektorje:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Kakšen mora biti vektor w, da je vsota v + u + w 6 i +8 j -10 k ?

Rešitev

Zato je treba izpolniti, da:

Odgovor je: w = 9 i +7 j - 18 k

- Vaja 2

Kolikšen je kot med vektorjema v in u v vaji 1?

Rešitev

Uporabili bomo izdelek s pikami. Iz definicije imamo:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Nadomeščanje teh vrednosti:

Reference

1. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. Kinematika. Uredil Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela uporabe. 6. Dvorana Ed Prentice.
3. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson.
4. Sears, Zemanski. 2016. Univerzitetna fizika s sodobno fiziko. 14. Ed. Zvezek 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Zvezek 1. 7. Ed Cengage Learning.