TEOREM O OBSTOJU IN EDINSTVENOSTI: DOKAZ, PRIMERI IN VAJE - MATEMATIKA - 2024

Obstoj in edinstvenost izrek določa potrebne in zadostne pogoje za prvega reda diferencialnih enačb, z dano začetno stanje, da ima rešitev in za to raztopino, da je samo eden.

Vendar izrek ne daje nobene tehnike ali indikacije, kako najti takšno rešitev. Teorem o obstoju in edinstvenosti je razširjen tudi na diferencialne enačbe višjega reda z začetnimi pogoji, kar je znano kot problem Cauchija.

Slika 1. Prikazana je diferencialna enačba z začetnim pogojem in njegovo raztopino. Teorem obstoja in edinstvenosti zagotavlja, da je edina možna rešitev.

Formalna izjava o obstoju in edinstvenosti izrek je naslednja:

"Za diferencialno enačbo y '(x) = f (x, y) z začetnim pogojem y (a) = b obstaja vsaj ena rešitev v pravokotnem območju ravnine XY, ki vsebuje točko (a, b), če f (x, y) je v tem območju neprekinjen. In če je delni derivat f glede na y: g = ∂f / ∂y neprekinjen v istem pravokotnem območju, je rešitev edinstvena v soseščini točke (a, b), ki jo vsebuje območje kontinuitete fy g. "

Uporabnost tega izrekanja je najprej v tem, da vemo, katera območja ravnine XY obstajajo, in tudi, če je najdena rešitev edina možna ali če obstajajo druge.

Upoštevajte, da v primeru, da pogoj edinstvenosti ni izpolnjen, izrek ne more napovedati, koliko rešitev ima celo Cauchijev problem: morda gre za eno, dve ali več.

Dokaz o obstoju in edinstvenosti izrek

Slika 2. Charles Émile Picard (1856–1941) je zaslužen za enega prvih dokazov teorema o obstoju in edinstvenosti. Vir: Wikimedia Commons.

Za ta izrek sta znana dva možna dokaza, eden je dokaz Charlesa Émileja Picarda (1856-1941), drugi pa Giuseppe Peano (1858-1932), ki temelji na delih Augustina Louisa Cauchija (1789-1857) .

Omeniti je treba, da so pri dokazovanju tega izrekanja sodelovali najbristnejši matematični umi devetnajstega stoletja, zato je mogoče sklepati, da nobeden od njih ni preprost.

Za formalno dokazovanje izrek je potrebno najprej vzpostaviti vrsto naprednejših matematičnih konceptov, kot so funkcije tipa Lipschitz, Banachovi prostori, izrek o obstoju Carathéodoryja in še nekaj drugih, ki so zunaj obsega članka.

Velik del diferencialnih enačb, ki jih obravnava fizika, obravnava neprekinjene funkcije v območjih, ki nas zanimajo, zato se bomo omejili na prikaz, kako se teorem uporablja v preprostih enačbah.

Primeri

- Primer 1

Razmislimo o naslednji diferencialni enačbi z začetnim pogojem:

y '(x) = - y; z y (1) = 3

Ali obstaja rešitev za to težavo? Je to edina možna rešitev?

Odgovori

V prvi vrsti je ovrednoten obstoj rešitve diferencialne enačbe in ta izpolnjuje tudi začetni pogoj.

V tem primeru je f (x, y) = - in pogoj obstoja zahteva vedeti, ali je f (x, y) neprekinjen v območju ravnine XY, ki vsebuje točko koordinat x = 1, y = 3.

Toda f (x, y) = - y je afinska funkcija, ki je neprekinjena v domeni realnih števil in obstaja v celotnem območju resničnih števil.

Zato je bilo ugotovljeno, da je f (x, y) nepretrgano R ² , tako da je izrek zagotavlja obstoj vsaj ene raztopine.

Če to vemo, je treba presoditi, ali je rešitev edinstvena ali, nasprotno, obstaja več kot ena. Za to je treba izračunati delni izvod f od spremenljivke y:

Potem g (x, y) = -1 ki je funkcija konstanta, ki je definirana tudi za vse R ² in je tudi stalno tam. Iz tega sledi, da teorem o obstoju in edinstvenosti zagotavlja, da ima ta problem začetne vrednosti edinstveno rešitev, čeprav nam ne pove, kaj je.

- Primer 2

Razmislite o naslednji navadni diferencialni enačbi prvega reda z začetnim pogojem:

y '(x) = 2√y; in (0) = 0.

Ali obstaja rešitev za to težavo y (x)? Če je odgovor pritrdilen, ugotovite, ali obstaja en ali več.

Odgovori

Upoštevamo funkcijo f (x, y) = 2√y. Funkcija f je definirana samo za y≥0, saj vemo, da negativnemu številu manjka pravi koren. Poleg tega je f (x, y) je stalno v zgornji polovici ravnine R ² skupaj z X-osi, tako obstoj in edinstvenost izrek jamstva vsaj ena raztopina v tej regiji.

Zdaj je začetni pogoj x = 0, y = 0 je na robu območja raztopine. Nato vzamemo delno izpeljanko f (x, y) glede na y:

∂f / ∂y = 1 / √y

V tem primeru funkcija ni definirana za y = 0, natančno tam, kjer je začetni pogoj.

Kaj nam pove izrek? Pove nam, da čeprav vemo, da obstaja vsaj ena rešitev v zgornji polovici ravnine osi X, vključno z osjo X, ker edinstveni pogoj ni izpolnjen, ni nobenega zagotovila, da bo obstajala edinstvena rešitev.

To pomeni, da lahko obstaja ena ali več rešitev v območju kontinuitete f (x, y). In kot vedno, izrek ne pove, kaj bi lahko bili.

Rešene vaje

- Vaja 1

Rešite težavo Cauchy v primeru 1:

y '(x) = - y; z y (1) = 3.

Poiščite funkcijo y (x), ki izpolnjuje diferencialno enačbo in začetni pogoj.

Rešitev

V primeru 1 je bilo ugotovljeno, da ima ta problem rešitev in je tudi edinstven. Če želite najti rešitev, je treba najprej opozoriti, da gre za prvostopenjsko diferencialno enačbo ločljivih spremenljivk, ki je zapisana na naslednji način:

Ločimo spremenljivke, ki jih imamo:

Neomejen integral se uporablja pri obeh članih:

Reševanje nedoločenih integralov imamo:

kjer je C konstanta integracije, ki jo določa začetni pogoj:

Nadomestitev vrednosti C in preurejanje ostane:

Uporaba naslednje lastnosti logaritmov:

Zgornji izraz lahko zapišemo takole:

Eksponentna funkcija z bazo e v obeh članih se uporablja za pridobitev:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Kar je enako:

y = 3e e ^-x

To je edinstvena rešitev enačbe y '= -y z y (1) = 3. Graf te rešitve je prikazan na sliki 1.

- Vaja 2

Poiščite dve rešitvi problema iz primera 2:

y '(x) = 2√ (y); in (0) = 0.

Rešitev

To je tudi enačba ločljivih spremenljivk, ki je v različni obliki zapisana takole:

dy / √ (y) = 2 dx

Ostanek nedoločnega sestavnega dela pri obeh članih ostaja:

2 √ (y) = 2 x + C

Ker vemo, da je y≥0 na območju raztopine:

y = (x + C) ²

Ker pa je treba izpolniti začetni pogoj x = 0, je y = 0, potem je konstanta C enaka nič in ostane naslednja rešitev:

y (x) = x ² .

Toda ta rešitev ni edinstvena, funkcija y (x) = 0 je tudi rešitev za postavljeno težavo. Teorem o obstoju in edinstvenosti, uporabljen za ta problem v primeru 2, je že napovedoval, da lahko obstaja več rešitev.

Reference

1. Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Teorija običajnih diferencialnih enačb, New York: McGraw-Hill.
2. Enciklopedija matematike. Teorem Cauchy-Lipschitz. Pridobljeno: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des približki zaporedoma Aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Letnik 116, 1894, str. 454–457. Pridobljeno: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedija. Picardova metoda zaporednih približkov. Pridobljeno: es.wikipedia.com
5. Wikipedija. Picard-Lindelöf izrek. Pridobljeno: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementarne diferencialne enačbe z aplikacijami.