- Lastnosti
- Splošno pravilo množenja
- Primeri pogojne verjetnosti
- - Primer 1
- Tabela ob nepredvidljivih dogodkih
- - Primer 2
- Vaja rešena
- Rešitev za
- Rešitev b
- Rešitev c
- Reference
Pogojna verjetnost je možnost nastanka določenega dogodka, glede na to, da je druga pojavlja kot pogoj. Te dodatne informacije lahko (ali pa tudi ne) spremenijo dojemanje, da se bo nekaj zgodilo.
Lahko se na primer vprašamo: "Kolikšna je verjetnost, da bo danes deževalo, glede na to, da dva dni ni deževalo?" Dogodek, za katerega želimo vedeti verjetnost, je, da danes dežuje, in dodatne informacije, ki bi pogojevale odgovor, so, da "dva dni ni deževalo".
Slika 1. Verjetnost, da bo danes deževalo glede na to, da je včeraj deževalo, je tudi primer pogojne verjetnosti. Vir: Pixabay.
Naj bo prostor verjetnosti sestavljen iz Ω (vzorec prostora), ℬ (naključni dogodki) in P (verjetnost vsakega dogodka), plus dogodka A in B, ki pripadata ℬ.
Pogojna verjetnost, da se A pojavi, glede na to, da se je zgodil B, ki je označena kot P (A│B), je opredeljena na naslednji način:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A in B) / P (B)
Kjer: P (A) je verjetnost pojava A, P (B) je verjetnost dogodka B in je različna od 0, P (A∩B) pa je verjetnost presečišča med A in B, tj. , verjetnost, da se zgodita oba dogodka (skupna verjetnost).
To je izraz za Bayesov izrek, ki ga je uporabil dva dogodka, ki ga je leta 1763 predlagal angleški teolog in matematik Thomas Bayes.
Lastnosti
-Vso pogojna verjetnost je med 0 in 1:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
- Verjetnost, da se bo zgodil dogodek A, glede na to, da se omenjeni dogodek zgodi, je očitno 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-Če sta dva dogodka izključujoča, to je dogodka, ki se ne moreta zgoditi hkrati, potem je pogojna verjetnost, da se eden od njih zgodi, 0, saj je presečišče nič:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-Če je B podvrsto A, je pogojna verjetnost tudi 1:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Pomembno
P (A│B) na splošno ni enak P (B│A), zato moramo biti pozorni, da dogodkov pri iskanju pogojne verjetnosti ne zamenjamo.
Splošno pravilo množenja
Velikokrat želite najti skupno verjetnost P (A∩B), ne pa pogojno verjetnost. Potem lahko z naslednjim izrekom:
P (A∩B) = P (A in B) = P (A│B). P (B)
Izrek je mogoče razširiti za tri dogodke A, B in C:
P (A∩B∩C) = P (A in B in C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
In tudi za različne dogodke, kot so A 1 , A 2 , A 3 in več, se lahko izrazi na naslednji način:
P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n ) = P (A 1 ). P (A 2 │A 1 ). P (A 3 │A 1 ∩ A 2 )… P (A n ││A 1 ∩ A 2 ∩… A n-1 )
Kadar gre za dogodke, ki se dogajajo v zaporedju in skozi različne faze, je priročno, da podatke organizirate v diagramu ali tabeli. Tako je lažje vizualizirati možnosti doseganja zahtevane verjetnosti.
Primera sta shema dreves in tabela ob nepredvidljivih dogodkih. Iz enega lahko zgradite drugega.
Primeri pogojne verjetnosti
Poglejmo nekaj situacij, v katerih so verjetnosti enega dogodka spremenjene s pojavom drugega:
- Primer 1
V sladki trgovini se prodajata dve vrsti tort: jagoda in čokolada. Z registracijo preferenc 50 strank obeh spolov smo določili naslednje vrednosti:
-27 žensk, od tega 11 raje jagodne torte in 16 čokoladnih.
-23 moški: 15 izbere čokolado in 8 jagod.
Verjetnost, da stranka izbere čokoladno torto, je mogoče določiti z uporabo Laplasovega pravila, po katerem je verjetnost katerega koli dogodka:
P = število ugodnih dogodkov / skupno število dogodkov
V tem primeru je od 50 kupcev skupno 31 raje čokolado, zato bi bila verjetnost P = 31/50 = 0,62. Se pravi, 62% kupcev ima raje čokoladno torto.
Toda ali bi bilo drugače, če bi bila stranka ženska? To je primer pogojne verjetnosti.
Tabela ob nepredvidljivih dogodkih
Z uporabo tabele v primeru nepredvidljivih dogodkov so vsote enostavno prikazane:
Nato opazimo ugodne primere in uporabimo Laplasovo pravilo, vendar najprej določimo dogodke:
-B je dogodek "ženska stranka".
-A ženska je dogodek "najraje čokoladna torta".
Pojdimo do stolpca z oznako "ženske" in tam vidimo, da je skupno 27.
Potem se ugoden primer išče v "čokoladni" vrsti. Takih dogodkov je 16, zato je neposredna verjetnost neposredna:
P (A│B) = 16/27 = 0,5924
59,24% žensk ima raje čokoladno torto.
Ta vrednost se ujema, če jo primerjamo s prvotno določeno pogojno verjetnostjo:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Zagotovimo uporabo Laplasovega pravila in vrednosti tabele:
P (B) = 27/50
P (A in B) = 16/50
Kjer sta P (A in B) verjetnost, da stranka raje čokolado in je ženska. Zdaj so vrednosti nadomeščene:
P (A│B) = P (A in B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.
In dokazano je, da je rezultat enak.
- Primer 2
V tem primeru velja pravilo množenja. Recimo, da so v trgovini na voljo hlače v treh velikostih: majhne, srednje velike in velike.
V seriji s skupno 24 hlačami, od katerih je 8 vsake velikosti in so vse mešane, kakšna bi bila verjetnost, da bi jih izluščili dve in da bi bili obe majhni?
Jasno je, da je verjetnost odstranjevanja majhnih hlač ob prvem poskusu 8/24 = 1/3. Zdaj je drugi izvleček pogojen s prvim dogodkom, saj pri odstranjevanju hlač ni več 24, ampak 23. In če se odstranijo majhne hlače, jih je 7 namesto 8.
Dogodek A vleče ene majhne hlače in je ob prvem poskusu potegnil še eno. In dogodek B je tisti z majhnimi hlačami prvič. Tako:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Končno z uporabo pravila za množenje:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097
Vaja rešena
V študiji pravilnosti komercialnih letalskih letov so na voljo naslednji podatki:
-P (B) = 0,83, je verjetnost, da letalo vzleti pravočasno.
-P (A) = 0,81, je verjetnost pristanka na čas.
-P (B∩A) = 0,78 je verjetnost, da let prispe ob času, ki vzleti ob času.
Prosimo za izračun:
a) Kolikšna je verjetnost, da bo letalo pravočasno pristalo glede na to, da je pravočasno vzletelo?
b) Ali je zgornja verjetnost enaka verjetnosti, ki ste jo pravočasno zapustili, če vam je uspelo pravočasno pristati?
c) In končno: kakšna je verjetnost, da bo prispela pravočasno, saj ni odšla pravočasno?
Slika 2. Pomembna je natančnost komercialnih letov, saj zamude ustvarjajo milijonske dolarje izgube. Vir: Pixabay.
Rešitev za
Za odgovor na vprašanje se uporablja definicija pogojne verjetnosti:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A in B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398
Rešitev b
V tem primeru se izmenjajo dogodki v definiciji:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A in B) / P (A) = 0,78 /0,81 = 0,9630
Upoštevajte, da se ta verjetnost nekoliko razlikuje od prejšnje, kot smo že poudarili.
Rešitev c
Verjetnost, da ne odidemo pravočasno, je 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, poimenovali jo bomo P (B C ), saj je to komplementarni dogodek, ki se mora pravočasno začeti. Zahtevana pogojna verjetnost je:
P (A│B C ) = P (A∩B C ) / P (B C ) = P (A in B C ) / P (B C )
Po drugi strani:
P (A∩B C ) = P (pristanek na čas) - P (pristanek v času in vzlet pravočasno) = 0,81-0,78 = 0,03
V tem primeru je zahtevana pogojna verjetnost:
P (A│B C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765
Reference
- Canavos, G. 1988. Verjetnost in statistika: Aplikacije in metode. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. Verjetnost in statistika za inženirstvo in znanost. 8. Izdaja. Zveza.
- Lipschutz, S. 1991. Serija Schaum: Verjetnost. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. Teorija verjetnosti. Uredništvo Limusa.
- Walpole, R. 2007. Verjetnost in statistika za inženiring in znanosti. Pearson.
- Wikipedija. Pogojna verjetnost. Pridobljeno: es.wikipedia.org.